Магнитостатическое поле и векторный потенциал, страница 5

Задачи для самостоятельного решения

9.1.  Исходя из определения векторного потенциала, получите явное выражение для вектора A в случае однородного магнитного поля, направленного вдоль оси z. Применяя хорошо известную из векторной алгебры формулу для двойного векторного произведения [A,[B,C]]=B(A,C)-C(A,B) для вычисления ротора от векторного произведения, попытайтесь рассчитать магнитное поле, соответствующее векторному потенциалу A=[B,R]/2, где B- постоянный вектор, направленный вдоль оси z .

Указание: если в результате Вашего расчета получилось значение, отличное от B, есть основания полагать, что Вы слишком смело пользуетесь аналогиями между векторами и операторами: Ñ является не только вектором, но и командой выполнить операцию дифференцирования!

9.2. Рассчитать векторный потенциал в произвольной точке пространства и соответствующее ему магнитное поле в случае, когда его источником является ток силой I, протекающий а) по объему, б) по поверхности вдоль оси бесконечного цилиндра заданного радиуса. Указание: воспользоваться сходством  между дифференциальными уравнениями, связывающими скалярный потенциал с плотностью электрического заряда и векторный потенциал с плотностью тока.

9.3.  Бесконечный цилиндр заданного радиуса, равномерно заряженный по поверхности зарядом плотности s, равномерно вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью w. Определить векторный потенциал и магнитное поле, создаваемое описанной системой в произвольной точке пространства.

9.4.  Равномерно заряженный) по поверхности б) по объему электрическим зарядом Q шар известного радиуса равномерно вращается с угловой скоростью w.. Определить магнитное поле, создаваемое таким шаром.

9.5. Равномерно заряженная поверхностным зарядом sсферическая оболочка радиуса R расширяется во все стороны с постоянной скоростью V. Определить магнитное поле и векторный потенциал в произвольной точке внутри оболочки.

9.6. Найти магнитное поле в произвольной точке внутри бесконечного соленоида, по виткам которого течет постоянный ток I. Линейная плотность числа витков соленоида известна: n. Указание: во многих учебных пособиях эта задача решается с помощью теоремы о циркуляции при допущении о том, что магнитное поле на бесконечном расстоянии от бесконечного соленоида равно нулю… Кажется, что корректное решение должно либо  обоснование последнего утверждения, либо опираться на какие-либо иные соображения…

9.7.  На каком расстоянии от оси полубесконечного соленоида идет линия вектора B вдали от торца, если известно, что она проходит через боковую поверхность соленоида в точке его обрыва? Найти полный поток вектора B через боковую поверхность полубесконечного соленоида. Указание: если к полу бесконечному соленоиду добавить еще один, развернутый на 180⁰, то получится бесконечный соленоид.

9.8. На сердечник, представляющий собой кольцо с прямоугольным сечением (все размеры заданы) намотано N витков провода, по которому течет постоянный ток I. Определить магнитное поле в произвольной точке пространства.

9.9. Электрический ток I втекает по полубесконечному проводу в перпендикулярную ему металлическую плоскость и равномерно растекается во все стороны. Найти магнитное поле в произвольной точке пространства.