Магнитостатическое поле и векторный потенциал, страница 2

              Для получения аналога теоремы Гаусса  для вектора B достаточно использовать хорошо известный факт тождественного равенства нулю дивергенции от ротора произвольного векторного поля, в чем нетрудно убедиться, произведя циклическую перестановку в смешанном скалярно - векторном произведении (9.9). Получившееся уравнение часто рассматривают как утверждение о не существовании в природе магнитных зарядов. Физический смысл сделанного утверждения требует некоторых пояснений. Приведенное математическое доказательства тождественного равенства нулю дивергенции вектора B имеет силу только для магнитных полей, создаваемых движущимися электрическими зарядами. Очевидно, что оно не может гарантировать отсутствия в природе каких-либо новых элементарных частиц, создающих вокруг себя магнитные поля с конфигурацией, аналогичной электростатическому полю точечного заряда. На сегодняшний день магнитные заряды действительно экспериментально не обнаружены. В случае экспериментальной регистрации таких частиц уравнения Максвелла были бы дополнены новыми слагаемыми, которые, по-видимому, сделали бы  ее еще более симметричной.

              Выражение для ротора магнитного поля (9.10) содержит “лишнее” слагаемое с дивергенцией от векторного потенциала. Для его исключения можно воспользоваться неоднозначностью определения векторного потенциала. Если дивергенция построенного в ходе решения задачи векторного потенциала отлична от нуля и в общем случае является скалярной функции координат f(R), всегда существует возможность такого градиентного преобразования, в результате которого новый векторный потенциал будет представлять собой чисто вихревое векторное поле (9.11). Легко убедиться, что приведенное выше выражение для векторного потенциала (9.6) в случае токов, протекающих в ограниченном объеме пространства, уже изначально соответствует чисто вихревому векторному полю (9.12).

              Сравнение дифференциальных форм уравнений электростатики и магнитостатики показывает существование между ними лишь определенных аналогий, но не наличия тождественного (с точностью до буквенных переобозначений) сходства. Т.о. при решении задач  магнитостатики практика использования уже готовых электростатических задач с последующим переобозначением является недопустимой. Полная аналогия имеется только между уравнениями Пуассона для электростатического и векторного потенциала. Эта аналогия позволяет сводить задачу расчета каждой из трех декартовых составляющих векторного потенциала к решению электростатической задачи нахождения скалярного потенциала, создаваемого пространственным распределением плотности заряда, аналогичным распределению соответствующей компоненты вектора плотности тока.

Пример 9.2.  Магнитное поле прямоугольной петли с током

Рассчитать векторный потенциал и магнитное поле прямоугольной петли a´ b, расположенной возле начала координат в плоскости z=0, в точке пространства, удаленной от начала координат на расстояние, существенно большее размеров петли. По образующему петлю проводу течет ток I.

Решение:          

Для расчета векторного потенциала воспользуемся аналогией с электростатической задачей нахождения скалярного  потенциала. У протекающих по контуру токов отсутствуют составляющие, направленные вдоль  вертикальной оси. Поэтому соответствующая компонента векторного потенциала равна нулю.