Двухпроводная линия передачи

                         Двухпроводная линия передачи

В настоящей  работе мы рассмотрим вопросы, связанные с распространением волн  в  двухпроводной  линии  передачи.  Она образована двумя цилиндрическими проводниками (рис.1), находящимися в среде с диэлектрической проницаемостью   и  магнитной  проницаемостью  (  и  - соответствующие параметры для вакуума).  Радиусы проводников и расстояние между их осями    малы по сравнению с длиной волны . Анализируется только противофазный режим,  когда токи  в проводниках  одинаковы по величине, но текут в противоположных  направлениях .

 Единица длины линии обладает определенными  параметрами: индуктивностью, емкостью ,сопротивлением проводов  и проводимостью среды (утечкой)  . Их называют  погонными  параметрами  линии.  Приближенные формулы для  них выводятся и обсуждаются в приложении.

Для отрезка линии длиной  мы можем изобразить такую    эквивалентную  схему     (рис.2) и написать уравнения Кирхгофа.        

Их  надо  поделить  на и  сделать  предельный  переход .  Тогда  мы получим систему  дифференциальных уравнений,  приближенно описывающих процесс  распространения волн в линии и называемых телеграфными уравнениями.

                                                                                                                                   ( 1 )   

Слово "приближенно" подчеркивает,  что эта система (как и теория цепей) не учитывает излучение  энергии в окружающее пространство при формировании (главным  образом) и распространении волн. Однако, если , то излученная энергия составляет  ничтожную часть  от передаваемой, и излучение  можно не учитывать.

 Исключая из системы ток или напряжение,  мы для оставшейся  величины получим волновое уравнение. Особенно простое оно получается,  если пренебречь  тепловыми потерями, т.е. считать  Напишем уравнение для напряжения (для тока  оно такое же).

                         ,    где    .

 Общим решением  волнового уравнения как легко проверить) является сумма двух функции.        Они описывают волновые возмущения,  распространяющиеся по линии без затухания со скоростью    в противоположных направлениях. Конкретный вид функций    и     определяется начальными условиями (условиями возбуждения), но не уравнением.  Отметим интересный результат.  При отсутствии тепловых потерь в среде и проводах скорость  распространения волн определяется только свойствами среды,  и не зависит от геометрических  параметров  линии, так как   (выражения 1 и 2 приложения).

При наличии   тепловых  потерь в линии и среде,  волны  будут затухать по мере рас-пространения и замедляться.  Появится дисперсия (частотная зависимость коэффициентов  затухания и замедления ) и, как следствие,  искажение  формы  сигнала  в процессе распространения. Это и составляет предмет исследования в данной работе.

Рассмотрим  подробнее  распространение импульса  в линии с потерями,  используя спектральный подход.  В качестве первого  шага на этом пути, надо рассмотреть распространение волнового  возмущения  с гармонической  зависимостью  от  времени.   Пусть  где  и  - комплексные амплитуды напряжения и тока.  Для них телеграфные уравнения запишутся так:

                                                                         ( 2 ) Здесь  и  представляют комплексные сопротивление  и проводимость единицы длины линии. Исключая ток из системы, получим:

                              ,                                                                     ( 3 ) где                                                        ( 4 )  - постоянная распространения ( ). Величину    называют волновым числом.

Последнее уравнение достаточно простое,  часто встречается  в физических задачах и хорошо изучено.  Напишем сразу его решение.   

                           .                                                                         ( 5 )  Здесь и  - комплексные постоянные , которые определяются  из граничных условий на концах линии.  Тогда для тока получим  следующее выражение:                                           
                                                                                                    ( 6 ) где      - волновое или характеристическое сопротивление линии (). Оно определяется как отношение напряжения к току для одной бегущей волны.

Запишем решение с учетом временного множителя. Так нагляднее видны структура и физический смысл слагаемых решения. 

                          .