Оптимизация учетных операций

Оптимизация учетных операций

Для контроля правильности расчета доходности операции, в особо ответственных случаях, и подтверждении результатов расчета используются некоторые положения Теории оптимизации. Рассмотрим эти положения для двух случаев: одномерного и n-мерного.

Действительно, для одномерного случая существования решения выделяется с помощью критических точек (типа max и min) функции:

y=f(x)

Однако не сразу ясно, что же такое есть max y, если функциональная зависимость y от x₁, x₂…x_n задается сразу с помощью n функций:

f₁(x₁, x₂…x_n, y) =0,

              f₂(x₁, x₂…x_n, y) =0,         (1)

……………………

f_n(x₁, x₂…x_n, y) =0.

Для выяснения вопроса обратимся к геометрической интерпретации двумерного случая. Рассмотрим систему уравнений вида:

                                                  f₁(x₁, x₂, y) =0,

                                                  f₂(x₁, x₂, y) =0.

Каждое из уравнений можно представить в виде поверхности (рис.     )

Рис.

Поверхности пересекаются. Линия пересечения показана красным цветом. Зеленым цветом показаны сечения – линии уровня y=const . Из рисунка ясно, что область существования решения системы уравнений

                                                  f₁(x₁, x₂, y) =0,         (2)

                                                  f₂(x₁, x₂, y) =0

есть:                                                      y_N<y< y_M

Чем же характерны точки M и N? Они отличаются тем, что в этих точках на линии пересечения координата y принимает наибольшее и наименьшее значение. Таким образом, геометрическая трактовка оптимизации функции y, заданной в виде (2), состоит в нахождении экстремума пространственной кривой.

Проблема исследования оптимума y, заданного в общем виде (1), называется проблемой согласованного оптимума. Точка оптимума находится из условий обращения якобиана в нуль:

df₁/dx₁    df₁/dx₂ … df₁/dx_n

df₂/dx₁    df₂/dx₂ … df₂/dx_n

                         ……………………………        =0.      (3)  

df_n/dx₁    df_n/dx₂ … df_n/dx_n

Совместное  решение (1) и (3) дает точку согласованного оптимума 

x^ж₁, x^ж₂,…, x^ж_n,y^ж. «Точка оптимума, определяемая этими уравнениями, получила у теоретиков широкое признание как «точка Парето» (в честь итальянского ученого В.Парето (1848-1923), нашедшего условие (3)).

            Выражение «согласованный оптимум» применительно к функциональной зависимости (1) имеет следующий смысловой оттенок. Оно означает, что фактически ни на одной из n поверхностей не достигается экстремум по y. Но такой экстремум достигается на пространственной кривой. Конечно же проблему согласованного оптимума следует рассматривать в рамках теории условной оптимизации. При этом проблема согласованного оптимума (являясь более общей) ближе всего к задаче условного оптимума при наличии ограничений на переменные x в виде равенств. Это хорошо видно из нижеследующей классификационной схемы.

        ОБЫЧНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

- функция одной переменной             y=f(x),