Другие предметы \ Микропроцессоры в системах управления

Оптимизация учетных операций, страница 4

f1(x1, x2, y) =0,

f2(x1, x2, y) =0,

                                                                  (28)

относительно четырех неизвестных: x1, x2, y, l2.

            Однако для нашей задачи, т.е. в тех случаях, когда число инструментальных переменных x равно числу функций (или числу уравнений), целесообразно для определения стационарной точки решить систему из трех уравнений с тремя неизвестными: x1, x2, y;

f1(x1, x2, y) =0,

f2(x1, x2, y) =0,

                                                                                       (29)

Запись необходимых условий экстремума  через якобиан особенно выгодна, когда число уравнений n велико. Действительно, в этом случае число уравнений вида (29) равно n+1 , т.е. всего на одно уравнений больше, чем имелось в исходной системе. Если же записать необходимые условия через множители Лагранжа, то число уравнений вида (28) будет равно 2n, т.е. в два раза больше чем число уравнений исходной системы.

Достаточные условия max и min.

            Будем опираться на функцию Лагранжа вида (18). Представим себе, что мы перешли от неявной связи переменных x1, x2, y в виде (20) к явной записи в виде:

y = y (x1, x2).               (30)

Тогда, как обычно, даем малую вариацию dx1 и dx2 инструментальным переменным x1 и x2 и раскладываем (30) в ряд Тейлора в окрестности стационарной точки:

Как известно, достаточное условие минимума сводится к положительной определенности квадратичной формы Q

Иначе говоря, от положительной определенности матрицы Гессе:

                                                                                                              (31)

Как известно, для положительной определенности матрицы необходимо, чтобы были положительны

- либо все главные миноры;

- либо все собственные числа.

            Теперь остается найти элементы матрицы Гессе:

                                                                                                                                        (32)

            Производные             и                могут быть легко получены из (32), если соответственно положить x2= x1 и x1= x2.

            Выведем теперь формулу (32). Имеем:  

Для удобства обозначим:

                                                                                                 (33)

Тогда запишем:

Дифференцируем это выражение по x1. Получим:

                                                                                               (34)

В общем случае мы имеем:

A(x1, x2, y)

B(x1, x2, y)

Точнее так:

A(x1, x2, y(x1, x2)),

B(x1, x2, y(x1, x2)).

Однако мы берем частную производную по x1. Поэтому мы считаем, что x2=const. Тогда:

A(x1, y(x1)),

B(x1, y(x1)).

            С учетом этого перепишем (34):

Используем правило дифференцирования сложной функции

Подставляем в это выражение значения А и В из (33):

Подставляем в это выражение

И получаем:

Из этого выражения и получаем (32).

Скачать файл