Оптимизация учетных операций, страница 3

Эта, так называемая, операция подстановки (широко распространенная в теории групп) показывает, что при этом левая часть выражения (12)  не изменяется, т.е. левая часть (1) является симметрической функцией.

Теперь с учетом

                                                                                            (15)

                                                                                             (16)

выражение (12) примет следующий вид:

Иначе:

Это выражение можно записать более симметрично в виде определителя:

                                                                                             (17)

Таким образом, необходимое условие экстремума это равенство нулю якобиана.

Метод Лагранжа.

Теперь получим выражение (17) по методу множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа L в виде:

L = l₁*f₁+ l₂*f₂,               (18)

где l₁ и l₂ – постоянные числа (множители Лагранжа).

Запишем (18) в развернутом виде:

L (x₁, x₂, y) = l₁* f₁(x₁, x₂, y) + l₂* f₂(x₁, x₂, y)     (19)

Теперь мы имеем некоторую поверхность:

L (x₁, x₂, y) = 0    (20)

в пространстве x₁, x₂, y, на которой ищем точки с экстремальными значениями y.

Как известно, необходимые условия экстремума в этом случае имеют вид:

                                                                                            (21)

                                                                                            (22)

Запишем частные производные, используя функцию Лагранжа  (19):

                                                                                             (23)

                                                                                             (24)

Приравнивая (23) и (24) нулю согласно (21) и (22) , имеем:

                                                                                              (25)

                                                                                               (26)

Мы  имеем систему линейных однородных уравнений относительно l₁ и l₂.Из теории линейных алгебраических уравнений известно, что в этом случае (т.е. для однородной системы) определитель, составленный из коэффициентов уравнений, равен нулю:

                                                                                                           (27)                                          

            Известно, что величина определителя не изменится, если поменять местами строки и столбцы. Так мы снова приходим к выражению (17), но значительно быстрее.

            Необходимое условие стационарной точки можно получить еще проще, если трактовать стационарную точку, как точку равновесия. Применив принцип виртуальных перемещений Лагранжа, получим:

            Величины df₁ и df₂ равны нулю в силу того, что приращения dx₁, dx₂ и dy не являются независимыми, а связаны уравнениями (2). Кроме того, мы имеем dy=0 в силу стационарности по координате y. Тогда получаем:

            Мы имеем систему линейных однородных уравнений относительно dx₁ и dx₂. Определитель этой системы равен нулю. Так мы в третий раз пришли к выражению (17).

            Обычно для нахождения стационарной точки поступают следующим образом. Учитывая, что l₁ и l₂ в соответствии с (25) и (26) являются линейно зависимыми, полагают, например, что l₁=1 и решают систему уравнений