Оптимизация учетных операций, страница 2

- функция многих переменных          y=f(x).

УСЛОВНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

- ограничения в виде неравенств       y=f(x),

                                                               φ(x)>0,

- ограничения в виде равенств            y=f(x),

                                                               φ(x)=0,

- согласованная оптимизация             y=f(x).

            Теперь остается найти достаточное условие максимума или минимума согласованного оптимума, и проблема штриховки будет решена.  По-видимому, труд инженера состоит также в том, чтобы понять, к какой области математики относится его исследование и взять готовый результат. Проблема согласованного оптимума наиболее часто встречается в игровых задачах с непротивоположными интересами и, как видим в проблеме существования решения системы нелинейных алгебраических уравнений!

            Рассмотрим вариант оптимизации затрат на приобретение/реализацию с точки зрения теории оптимизации и  с  помощью системы из двух уравнений:

1)  либо методом исключения всех кроме одной неизвестных

2)  либо методом (множителей) Лагранжа.

Теперь мы вновь обратимся к системе из двух уравнений с двумя неизвестными:

                                                  f₁(x₁, x₂, y) =0,

                                                  f₂(x₁, x₂, y) =0.

где y – параметр,

       x₁, x₂  - переменные.

На примере этой задачи мы покажем как метод исключения и метод Лагранжа приводят к одинаковым необходимым условиям существования экстремума и отметим преимущества метода Лагранжа в простоте получения результата.

Метод исключения.

Перепишем уравнения (2) в явной форме:

x₁ = φ₁(x₂, y),          (4)

x₂ = φ₂(x₁, y).          (5)

Исключим x₂ , подставив (5) в (4). Получим:

x₁= φ₁(φ₂(x₁, y), y)     (6)

Применяя к (6) стандартную форму записи (справа нуль), введем новую функцию

F₁(x₁, y) = φ₁(φ₂(x₁, y), y) - x₁= 0     (7)

В точках экстремума производная равна нулю, т.е.

dx/dx₁= -                   = 0    (8)

Получаем:

F₁/    x₁= 0     (9)

Берем первую производную F₁ по x₁ из  (7):

                                                                                                  (10)

Согласно  (5) мы можем считать, что φ₂ = x₂, и тогда выражение (10) перепишем так:

                                                                                          (11)

 Это выражение в соответствии с (9) в точке экстремума должно быть равно нулю, т.е.

                                                         (12)

С тем же успехом мы могли бы исключить из системы уравнений (4), (5)  x₁, ввести новую переменную F₂ и найти выражение, аналогичное (11) в виде

                                                                                            (13)

Учитывая, что в точке экстремума

                                                                                             (14)

мы вновь приходим к выражению (12). Впрочем, эти выкладки можно было бы не проделывать, а просто заменить в выражении (12) индексы:

вместо индекса 1 подставить индекс 2;

вместо индекса 2 подставить индекс 1.