Расчёт сжатых стержней на устойчивость. Формы равновесия

Расчёт сжатых стержней на устойчивость

Формы равновесия

Условие прочности  справедливо для стержней с параметрами поперечного сечения, соразмеримыми с длиной (например, куб).

, где

K –  коэффициент запаса прочности

 для пластичных материалов, K = 1,5

 предел прочности для хрупких материалов, K = 2 ÷ 3

Если размеры поперечного сечения стержня значительно меньше его длины, то такой называют гибким.

Если гибкий стержень нагрузить сжимающей силой, то он может потерять устойчивость.

Устойчивость – это способность тела сохранять первоначальную форму равновесия.

Типы равновесия для гибких стержней подобны типам равновесия в теоретической механике, а именно равновесие абсолютно твёрдого тела может быть устойчивым, безразличным и неустойчивым.

устойчивое равновесие	безразличное равновесие	неустойчивое равновесие

Критической нагрузкой называется нагрузка, при которой сжатый стержень теряет способность сохранять прямолинейную форму равновесия.

Потеря устойчивости гибких стержней происходит при напряжениях значительно больших допускаемых.

Основная задача в расчётах на устойчивость – это определение критических нагрузок.

Вывод формулы Эйлера для критической силы.

Рассмотрим сжатый стержень в критическом состоянии, который перешёл от прямолинейной формы к изогнутой

Приближённое дифференциальное уравнение изогнутой оси балки имеет вид:

          Знак минус, так как прогиб положителен в данном случае, а момент отрицателен (выпуклость вверх)

.

. Обозначим

. Линейное уравнение второго порядка. Общее решение, известное из математики имеет вид:

, где A и B – коэффициенты интегрирования, определяются из граничных условий.

1. .       Получим

                                   Тогда .

2. .         

                                   , т.к. если , то стержень прогибов не имеет, что противоречит условию задачи.

Тогда: .    Это может быть при

,  где - любое целое число.

 не даёт решения.

Тогда:

 - формула Эйлера для критической нагрузки потери устойчивости сжатого стержня при шарнирном закреплении его концов.

 - уравнение прогибов стержня при потере устойчивости.