Подбор полиноминальной зависимости методом наименьших квадратов. Решение СЛАУ

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Новосибирский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Кафедра прикладной математики

Отчет по лабораторной работе №2 Аппроксимация

Часть 2: Подбор полиноминальной

зависимости   методом наименьших квадратов. Решение СЛАУ.

Вариант №5

Выполнил студент 321 гр

Гербер Ю. А.

Проверил: Федорченко И.А.

Новосибирск  2010

1. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ (МНК)

Задана система точек (узлы интерполяции) xi , i = 1,2,...,N; a £ xi £ b, и значения fi, i = 1,2,....,N. Требуется построить многочлен 3-ей степени P3(x)=a1+a2x+a3x2+a4x3, имеющий в узлах интерполяции минимальное отклонение от заданных значений fi. В i-ой точке полином P3(x) отклоняется от значения fiна величину (P3(xi)-fi). Суммируя квадраты отклонений полинома по всем точкам i=1,2,…N, построим функционал

Найдем min. Для этого приравняем нулю все частные производные . Собирая коэффициенты при неизвестных ai, получим нормальную систему  ‑ СЛАУ относительно вектора

В матричном виде систему можно записать:              B a = f.     (1)

B – матрица системы, a – искомый вектор, f – вектор правой части. Решение СЛАУ найдем с помощью точного метода Гаусса, а также с помощью итерационного метода релаксации.

2. МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ

ШАГ 1. Запишем систему (1) в виде  a = a -τ(Вa – f), τ >0  ‑ параметр, значение которого подбирается таким образом, чтобы построенный итерационный метод сходился.

ШАГ 2. Зададим точность метода ε>0, параметр релаксации τ>0,  введем вектор начального приближения к решению a0. Вектор может быть произвольным, например, нулевым:.a0 = (0, 0, ..., 0).

ШАГ 3. Следующее приближение ‑ вектор a1 находится следующим образом: a1 = a0 ‑ τ(Вa0– f), или, в скалярном виде: 

ШАГ 4. Вычислим вектор невязки: r = a1 – a0  и его норму: ║ r ║= max ( r i)..

ШАГ 5. Приготовимся к следующей итерации. Занесем компоненты вектора a1в вектор a0, т.е. a0i:=a1i. I=1,2..m.

ШАГИ 3-5 образуют итерационный цикл. Будем повторять их до тех пор, пока не выполнится  условие ║ r║ < ε.

3. выполнение задания

1. вычислить коэффициенты  матрицы В   и вектора правых частей f

2. решить СЛАУ методом обратной матрицы  и методом Крамера . Выписать исходный полином , построить его график и нанести заданные точки.

3. Решить систему  Ba=f , с помощью метода релаксации  для ε=10-3 . Для подбора значения  параметра τ , необходимо следить  за поведением значения а1   и нормы вектора невязки  ║ r║. В случае , если невязка растет , остановить процесс , задать  меньшее значение τ  и попробовать заново.

Результаты занести в  Таблицу№1:

τ

сходимость процесса

1

не сходиться

0,5

не сходиться

0,25

не сходиться

0,1

сходиться

4. после выбора значения τ, обеспечивающего сходимость итерационного  процесса , определить необходимое для этого количества итераций . Для  ε=10-3 подобрать оптимальное значение параметра , т.е. такое значение , при котором метод сходиться с наименьшим количеством итераций .Результат занести в Таблицу №2

τ

количество итераций для ε=10-3

0,1

240

0,15

300

0,125

150

5. Для оптимального значения параметра τ просчитать варианты с изменением точности ε=10-2 , ε=10-3, ε=10-4 . Сравнить полученные результаты а1,а234  с результатами , полученными по методу Крамера . Результаты занести  в  Таблицу №3

ε

количество итераций

а1

а2

а3

а4

10-2

10-3

10-4

решение методом Крамера

 Решение  

Исходные данные

X

F

-1

-5

-0,8

-3,2

-0,7

-2,5

-0,5

-1,8

-0,4

-1,6

-0,3

-1,5

0

-2

0,1

-2,3

0,2

-2,7

0,4

-3,7

0,5

-4,3

0,9

-6,5

1

-7

Метод обратной матрицы

Если , то существует матрица , обратная к данной. Умножим исходную систему уравнений (2.1) на обратную матрицу слева. Получим

.

Известно, что произведение обратной матрицы на исходную дает единичную матрицу , и, следовательно, получаем , или

                           

Решение СЛАУ свелось к умножению известной обратной матрицы на вектор правых частей. Таким образом, задача решения СЛАУ и задача нахождения обратной матрицы связаны между собой, поэтому часто решение СЛАУ называют задачей обращения матрицы.

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Отчеты по лабораторным работам
Размер файла:
70 Kb
Скачали:
0