Подбор полиноминальной зависимости методом наименьших квадратов. Решение СЛАУ

Новосибирский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Кафедра прикладной математики

Отчет по лабораторной работе №2 Аппроксимация

Часть 2: Подбор полиноминальной

зависимости   методом наименьших квадратов. Решение СЛАУ.

Вариант №5

Выполнил студент 321 гр

Гербер Ю. А.

Проверил: Федорченко И.А.

Новосибирск  2010

1. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ (МНК)

Задана система точек (узлы интерполяции) x_i , i = 1,2,...,N; a £ x_i £ b, и значения f_i, i = 1,2,....,N. Требуется построить многочлен 3-ей степени P₃(x)=a₁+a₂x+a₃x²+a₄x³, имеющий в узлах интерполяции минимальное отклонение от заданных значений f_i. В i-ой точке полином P₃(x) отклоняется от значения f_iна величину (P₃(x_i)-f_i). Суммируя квадраты отклонений полинома по всем точкам i=1,2,…N, построим функционал

Найдем min. Для этого приравняем нулю все частные производные . Собирая коэффициенты при неизвестных a_i, получим нормальную систему  ‑ СЛАУ относительно вектора

В матричном виде систему можно записать:              B a = f.     (1)

B – матрица системы, a – искомый вектор, f – вектор правой части. Решение СЛАУ найдем с помощью точного метода Гаусса, а также с помощью итерационного метода релаксации.

2. МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ

ШАГ 1. Запишем систему (1) в виде  a = a -τ(Вa – f), τ >0  ‑ параметр, значение которого подбирается таким образом, чтобы построенный итерационный метод сходился.

ШАГ 2. Зададим точность метода ε>0, параметр релаксации τ>0,  введем вектор начального приближения к решению a₀. Вектор может быть произвольным, например, нулевым:.a₀ = (0, 0, ..., 0).

ШАГ 3. Следующее приближение ‑ вектор a1 находится следующим образом: a1 = a₀ ‑ τ(Вa₀– f), или, в скалярном виде: 

ШАГ 4. Вычислим вектор невязки: r = a1 – a₀  и его норму: ║ r ║= max ( r _i)..

ШАГ 5. Приготовимся к следующей итерации. Занесем компоненты вектора a1в вектор a₀, т.е. a0_i:=a1_i. I=1,2..m.

ШАГИ 3-5 образуют итерационный цикл. Будем повторять их до тех пор, пока не выполнится  условие ║ r║ < ε.

3. выполнение задания

1. вычислить коэффициенты  матрицы В   и вектора правых частей f

2. решить СЛАУ методом обратной матрицы  и методом Крамера . Выписать исходный полином , построить его график и нанести заданные точки.

3. Решить систему  Ba=f , с помощью метода релаксации  для ε=10^-3 . Для подбора значения  параметра τ , необходимо следить  за поведением значения а1   и нормы вектора невязки  ║ r║. В случае , если невязка растет , остановить процесс , задать  меньшее значение τ  и попробовать заново.

Результаты занести в  Таблицу№1:

τ	сходимость процесса
1	не сходиться
0,5	не сходиться
0,25	не сходиться
0,1	сходиться

4. после выбора значения τ, обеспечивающего сходимость итерационного  процесса , определить необходимое для этого количества итераций . Для  ε=10^-3 подобрать оптимальное значение параметра , т.е. такое значение , при котором метод сходиться с наименьшим количеством итераций .Результат занести в Таблицу №2

τ	количество итераций для ε=10-3
0,1	240
0,15	300
0,125	150

5. Для оптимального значения параметра τ просчитать варианты с изменением точности ε=10^-2 , ε=10^-3, ε=10^-4 . Сравнить полученные результаты а_1,а₂,а₃,а₄  с результатами , полученными по методу Крамера . Результаты занести  в  Таблицу №3

ε	количество итераций	а1	а2	а3	а4
10-2
10-3
10-4
решение методом Крамера

 Решение  

Исходные данные

X	F
-1	-5
-0,8	-3,2
-0,7	-2,5
-0,5	-1,8
-0,4	-1,6
-0,3	-1,5
0	-2
0,1	-2,3
0,2	-2,7
0,4	-3,7
0,5	-4,3
0,9	-6,5
1	-7

Метод обратной матрицы

Если , то существует матрица , обратная к данной. Умножим исходную систему уравнений (2.1) на обратную матрицу слева. Получим

.

Известно, что произведение обратной матрицы на исходную дает единичную матрицу , и, следовательно, получаем , или

                           

Решение СЛАУ свелось к умножению известной обратной матрицы на вектор правых частей. Таким образом, задача решения СЛАУ и задача нахождения обратной матрицы связаны между собой, поэтому часто решение СЛАУ называют задачей обращения матрицы.