Передаточные функции звеньев и систем автоматического управления

Лекция №7.

С учетом вышеизложенного запишем 1.1. Введем безразмерные координаты 1.2. Перепишем уравнение (5): 1.3. Приведем к единице коэффициент при мю. 1.4. Коэффициент при второй производной выходной координаты имеет размерность время в квадрате, а при первой производной имеет размерность время. Коэффициент при безразмерной выходной координате не имеет размерности. Учитывая это введем обозначения: 1.5. Получаем линеаризованное уравнение 2-го порядка. T₁ – постоянная времени, которая характеризует инерционность звена. Численно равна половине квадрата времени, необходимого для перемещения звена от исходного предельного y=0, до равновесного y=y₀ положения, при максимальной восстанавливающей силе x=x₀, и отсутствии сопротивления.T₂ – постоянная времени, характеризующая величину сопротивления перемещения звена. Численно равна времени равномерного перемещения звена от исходного, то есть предельного положения, до равновесного, с такой скоростью, при которой сила сопротивления достигнет максимального значения восстанавливающей силы. T₁ и Т₂ всегда больше 0. Т₂ может равняться нулю при отсутствии вязкого трения.

Рассмотрим установившееся положение звена 1.6. – коэффициент передачи, который характеризует на сколько и во сколько раз меняется выходной сигнал звена φ(t) при воздействии входного 1.7.  Перепишем уравнение (8) 1.8. Решим полученное уравнение. Решение будет представлять из себя сумму общих и частных решений. Общие решения 1.9., а частное при всех производных равных нулю. Выражение (12) представляет из себя свободное движение звена, то есть описывает поведение системы или звена при отсутствии внешнего воздействия. 2.0. Рассмотрим все случаи сочетания корней характеристического уравнения, считая что на вход звена подано единичное скачкообразное входное воздействие 2.1. Рассмотрим различные состояния звена 2.2. 1-корни действительные и больше нуля, то есть лямбда1 и лямбда 2 больше 0. 2-корни действительные, лямбда1 больше 0, лямбда2 равна нулю. 3-корни действительные, лямбда1 лямбда 2 меньше нуля, устойчивое движение звена. 4-корни действительные, лямбда1 и лямбда2 равны нулю. 5-корни комплексные, взаимосопряженные 2.3.6-корни взаимосопряженные, мнимые, то есть движение звена осуществляется на границе устойчивости, оно совершает периодические незатухающие колебания.

Передаточные функции звеньев и систем автоматического управления.

Обобщенное дифференциальное уравнение звеньев является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами: 2.4.

В этом уравнении все коэффициенты Т - это постоянные времени, вещественные величины, имеют размерность времени, могут быть равными нулю. k – это коэффициент передачи звена или системы по какому-либо возмущению.

            Единые правила записи дифференциальных уравнений:

1.  Выходная величина (φ – координата сигнала воздействия), и все её производные записываются в левой части уравнения.

2.  Коэффициент при φ в первой степени всегда приводится к единице.

3.  Входная величина (µ) и все её производные записывают в правой части уравнения.

Так как аналитическое решение дифференциальных уравнений является сложной задачей, то в ТАУ используется операторная форма записи дифференциального уравнения. Это позволяет производить анализ и синтез систем в виде линейных алгебраических уравнений. При операторной форме записи операция дифференцирования заменяется оператором Лапласа. 2.5. Перепишем (1): 2.6. Полином d(P) -