Теорія стійкості. Стійкість лінійних систем. Стійкість систем другого порядку. Класифікація точок спокою, страница 3

в) Якщо   (або навпаки), то точка спокою теж нестійка, тому що одна з експонент  при . Однак, у цьому випадку існує одна траєкторія, по якій рух відбувається в напрямку початку координат. А, саме, поклавши в (3.32) , одержуємо

,        .

При різних значеннях  одержуємо різні рухи по однієї й тій же прямій .

При зростанні  точки на цій прямій рухаються по напрямку до початку координат.

Якщо , те, . Точки цієї траєкторії рухаються зі зростанням  по прямій , віддаляючись від початку координат. У загальному випадку при  й  при  траєкторія залишає точку спокою. Точка спокою цього типу називається сідлом (мал. 8). Характер фазових траєкторій в околиці сідла з'ясуємо на прикладі.

Приклад 2. Дослідити стійкість системи

 .

Розв’язання. Записуємо характеристичне рівняння

,

звідки одержуємо , . Тому що ці числа протилежних знаків, то точка спокою нестійка. Побудуємо фазові траєкторії в околиці точки рівноваги. Розділивши друге рівняння на перше, одержимо диференціальне рівняння фазових траєкторій

.

Розділяючи змінні й інтегруючи, одержуємо . Це рівнобічні гіперболи. Стрілками (мал. 7) показаний напрямок руху по цих траєкторіях точки, що зображує, зі зростанням .

2) Корені характеристичного рівняння комплексно-сполучені: . Загальне розв'язання можна зберегти у вигляді (3.32), однак, з огляду на те, що його дійсна й мнима частини теж є розв'язаннями системи (3.28), її загальне розв'язання можна записати у вигляді лінійної комбінації цих частин:

,                                          (3.33)

 зв'язано один з одним лінійними залежностями.

а) Якщо , то  при . Отже,  і  при , залишаючись коливальними функціями з нескінченно убутною амплітудою. Незбурений рух асимптотично стійкий. Точка, що зображена, у цьому випадку рухається по спіралі, наближаючись до точки  рівноваги , що у цьому випадку називається стійким фокусом (мал. 9а).

б) Якщо , то  при . Точка, що зображена, віддаляється від точки  спіралі, що аналогічна розглянутої в попередньому випадку (мал. 9б). Точка спокою в цьому випадку називається нестійким фокусом.

в) Якщо , то рівняння (3.33) можна перетворити до виду параметричних рівнянь еліпса , . Кожна точка, що  зображує, залежно від початкових збурень буде незліченну множину разів пробігати «свій» еліпс, не прагнучи не віддалятися, не наближатися до центра. Точка спокою в цьому випадку стійка по Ляпунову (але не асимптотична), є геометричним місцем всіх еліпсів і називається центром. (мал. 10).

3) Корені характеристичного рівняння дійсні й рівні .

Загальне розв'язання (3.32) має вигляд

,   в ,

де постійні зв'язані між собою лінійними рівняннями.

а) Якщо , то при   швидше, ніж  прагне до нескінченності, тому  при . Отже, точка спокою асимптотично стійка й називається, як й у п. 1.а), стійким вузлом.

б) Якщо , то  при . Стан спокою нестійкий, точка спокою називається нестійким вузлом.

II. Одне з характеристичних чисел дорівнює нулю, наприклад, , . Тоді загальне розв'язання системи має вигляд

, .

а) Якщо , те  при . Тоді на кожній траєкторії точки, що зображують, наближаються до лежачій на цій траєкторії точці с покою  , (або) (мал.11).

Таким чином, всі точки прямій , у тому числі й точка спокою  є стійкою по Ляпунову (але не асимптотично).

б) Якщо , то точка спокою нестійка.

III. Обидва характеристичних числа дорівнюють нулю . Тоді загальне розв'язання системи має вигляд

, .

При цьому можливі такі варіанти

а)   , . Точка спокою стійка неасимптотично.

б) . У цьому випадку точка спокою, очевидно, нестійка.

Зауваження 1. Рівняння фазових траєкторій можна відразу одержувати не в параметричної, а у звичайній формі. Розділивши друге рівняння (3.28) на перше, знайдемо диференціальне рівняння фазових траєкторій у вигляді

,                                                  (3.34)

інтегруючи яке одержимо інтегральні криві, що збігаються з фазовими траєкторіями руху  системи(3.28). При цьому точка спокою системи ,  є особливою точкою рівняння (3.34). Таким чином, класифікація точок спокою тісно пов'язана із класифікацією особливих точок.

Зауваження 2. Відповідно до теорем Ляпунова питання про стійкість і нестійкість автономної лінійної системи визначається видом коренів характеристичного рівняння й для систем невисокого порядку особливого труда не становить. Але зі зростанням порядку трудомісткість розв'язання зростає багаторазово. У цих випадках істотного значення набувають різні непрямі ознаки (критерії) стійкості, за допомогою яких можна зробити висновок про характер коренів, і, отже, про стійкість системи, не вирішуючи відповідного рівняння.