Теорія стійкості. Стійкість лінійних систем. Стійкість систем другого порядку. Класифікація точок спокою, страница 2

де  – многочлен степеня не вище чим  й , (тому що  й показовій функції зростає швидше, ніж степенева).

Аналогічний результат одержуємо у випадку кратних комплексних коренів із від’ємною дійсною частиною.

Із усього розглянутого, робимо висновок, що нульове розв'язання  системи (3.26) асимптотично стійке.

2) Характеристичне рівняння (3.28) має корінь із додатними дійсними частинами. Тоді хоча б одна з функцій

,

у якої  буде необмежено зростаючої по модулі при , і тому що вона ввійде до складу одного з доданків загального розв'язання, то останнє теж необмежено зростає при . Значить нульове розв'язання системи нестійке.

3) Характеристичне рівняння не має корінь із від’ємними дійсними частинами, але є простий корінь із дійсною частиною рівною нулю.

У цьому випадку всі функції  будуть обмежені по модулі для будь-якого , які б ні були початкові значення цих функцій. Виходить, при кожному  найдеться таке , що при  треба  для , . Виходить, нульове розв'язання системи буде стійким, але не буде асимптотично стійким, тому що в цьому випадку  для всіх .

В випадку якщо характеристичне рівняння (3.27), не має корінь із від’ємними дійсними частинами, має кратний корінь, дійсні частини якого дорівнюють нулю, то в цьому випадку розв'язання може бути нестійким, тому що

 при  ,

якщо існують  .

З урахуванням цих досліджень сформулюємо основні теореми про стійкість автономних лінійних систем.

Теорема 1. Якщо дійсні частини всіх коренів характеристичного рівняння системи від’ємні, , то незбурений рух (тривіальне розв'язання) системи (3.26) асимптотично стійкий.

Теорема 2. Якщо серед коренів характеристичного рівняння є хоча б один, дійсна частина якого від’ємна, то незбурений рух (тривіальне розв'язання) системи нестійке.

Теорема 3. Якщо дійсні частини деяких простих коренів характеристичного рівняння дорівнюють нулю, а інші – від’ємні, то незбурений рух стійкий (але не асимптотично).

Приклад 1. Нехай рух деякого об'єкта описується нормальною системою трьох рівнянь, що приводиться до диференціального рівняння

.

Відповідне характеристичне рівняння

має корені  . Тоді по теоремі 2, досліджуваний рух нестійкий.

3.6 Стійкість систем другого порядку. Класифікація точок спокою

Розглянемо важливий окремий випадок лінійної автономної системи 2-го порядку:

.                                                   (3.28)

Дослідимо на стійкість нульове розв'язання системи

,      ,

припускаючи, що точка рівноваги ізольована. Частинне розв’язання шукаємо у вигляді

, ,                                               (3.29)

де  – постійні. Знаходимо корені характеристичного рівняння

.                    (3.30)

Розглянемо різні випадки коренів характеристичного рівняння.

I. Серед коренів характеристичного рівняння немає коренів рівних нулю. Розглянемо можливі в цьому випадку варіанти розв'язань.

1). Корені дійсні й різні .

Підставивши в (3.29) замість  значення , а замість  і  відповідні розв'язання  й  системи

,                                                        (3.31)

одержимо перше розв'язання системи (3.28):

,      .

Аналогічно, використовуючи , одержуємо друге розв'язання системи:

,      .

Загальне розв'язання системи в розглянутому випадку має вигляд

,                            (3.32)

де  й  – довільні постійні. Вид фазових траєкторій   в околиці точки рівноваги  буде істотно залежати від знаків характеристичних чисел. Розглянемо різні варіанти цих знаків.

а) Якщо , то з (3.32), очевидно, що точка спокою  асимптотично стійка (теорема 1). Всі фазові траєкторії в розглянутому випадку проходять через точку рівноваги, що у цьому випадку називається стійким вузлом (всі фазові траєкторії проходять через точку рівноваги й точка, що зображує, із часом прагне до точки рівноваги).

Приклад 1. Дослідити стійкість системи

, .

Розв’язання. Складаємо характеристичне рівняння

.

Тому що обидва характеристичних числа від’ємні, то точка спокою системи  асимптотично стійка.

Для наочності побудуємо фазові траєкторії в околиці точки спокою. Відразу інтегруючи рівняння даної системи (вони не залежать друг від друга), одержуємо параметричні рівняння цих траєкторій у вигляді  . З параметричних одержуємо звичайне рівняння фазових траєкторій  (сімейство парабол з вершиною на початку координат, симетричних відносно  (мал. 6)). Стрілками зазначений напрямок руху по траєкторіях при зростанні . Точка рівноваги  – стійкий вузол.

б) Якщо  й , те  при . Траєкторії аналогічні попередньої, але рух у них буде відбуватися в протилежних напрямках (точка із часом віддаляється від точки рівноваги). Така точка рівноваги називається нестійким вузлом (мал. 7).