Теоремы Штурма. Краевые задачи, страница 4

Отсюда следует, что задача о радиальных колебаниях мембраны приводит к задаче Штурма-Лиувилля, и ее решения можно представить в виде линейной комбинации (12.60) функций Бесселя нулевого порядка:

.

Учитывая, что решение этой задачи должно удовлетворять граничным условиям  и  ограничено при , надо в силу второго условия принять  (т.к.  при ). Таким образом, нами продемонстрирован один из вариантов применения функций Бесселя в прикладных задачах.

12.4 Решение краевых задач методом функции Грина

Рассмотрим краевую задачу для уравнения:

                            (12.62)

с однородными граничными условиями

                   (12.63)

  Будем предполагать, что рассматриваемая краевая задача имеет единственное решение.

Пусть  - какое-либо нетривиальное решение соответствующего однородного уравнения:

 ,                   (12.64)

удовлетворяющее первому из граничных условий (12.63).

 ,

а - нетривиальное решение уравнения (12.64), удовлетворяющее второму граничному условию

.

Тогда  не удовлетворяет второму граничному условию, так как в противном случае при любой постоянной  функции  были бы решениями краевой задачи (12.63)-(12.64) и наша исходная краевая задача (12.62)-(12.63) имела бы бесконечное множество решений. Аналогично доказывается, что  не удовлетворяет первому граничному условию. Итак:

                         (12.65)

Построенные решения  линейно независимы, так как в противном случае они были бы пропорциональны и поэтому удовлетворяли бы одним и тем же граничным условиям, что невозможно. Тогда общее решение (12.64) имеет вид , где - произвольные постоянные.

Решение неоднородного уравнения (12.62) будем искать методом вариации произвольных постоянных. Записывая решение  в виде:

             (12.66)

для нахождения функций  и  строим систему линейных алгебраических уравнений:

Решая эту систему, находим

             (12.67)

где , как определитель Вронского, составленный для линейно независимых решений  и . Интегрируя (12.67), получаем:

,

,

где - постоянные.

Подставляя найденные выражения для  и  в (12.66), получаем общее решение уравнения (12.62):

. (12.68)

Дифференцируя (12.68) по , имеем

, (12.69)

так как результаты дифференцирования интегралов равны  и  и сокращаются.

Потребуем теперь, чтобы решение (12.68) удовлетворяло граничным условиям (12.63). Подставляя выражения (12.68), (12.69) в первое из граничных условий (12.63), получим (так как ):

.

Группируя подобные члены, получаем

.

Так как в силу первого граничного условия (12.63) содержимое первых двух скобок равно нулю, а последняя скобка в силу второго условия (12.65) не равна нулю, то последнее равенство возможно лишь при .

Аналогично, используя второе граничное условие, показывается, что . Тогда решение краевой задачи (12.62)-(12.63) можно представить в виде

или:

,                         (12.70)

где:

             (12.71)

Построенная функция  называется функцией Грина краевой задачи (12.62)-(12.63). Таким образом, если функция Грина найдена, то решение краевой задачи (12.62)-(12.63) задается формулой (12.70). Сама функция Грина от  не зависит (она определяется решениями  и  однородного уравнения (12.64)).

Легко проверить, что функция Грина  при любом фиксированном  обладает следующими свойствами:

1)   при   удовлетворяет однородному уравнению (12.64);

2)   при  и   удовлетворяет соответственно первому и второму граничным условиям (12.52);

3)   при   непрерывна;

4)   при  производная  имеет скачок равный 1:

  .

Свойства 1) – 3) почти  очевидны. Докажем свойство 4). В силу (12.71)

откуда следует, что:

.

Можно показать, что свойства 1)- 4) однозначно характеризуют функцию Грина, то есть, что любая функция , обладающая свойствами 1)- 4), является функцией Грина и имеет вид (12.71).

З а м е ч а н и е. Использовать функции Грина особенно удобно в тех случаях, когда приходится многократно решать краевую задачу (12.62)-(12.63) для различных правых частей .

П р и м е р. Построить функцию Грина для краевой задачи:

Решение: Общее решение соответствующего однородного уравнения  имеет вид , откуда находим - нетривиальное решение, удовлетворяющее первому граничному условию  (таких решений бесконечное множество). Аналогично находим - нетривиальное решение, удовлетворяющее второму граничному условию . Тогда . Тогда по формуле (12.71) находим