Математика \ Дифференциальные уравнения

Теоремы Штурма. Краевые задачи, страница 3

К такому уравнению и краевым условиям приводит, например, задача о колебаниях струны, зафиксированной в неподвижных точках и . Непосредственно видно, что является решением поставленной задачи, но это тривиальное решение. Дальше, говоря о решениях краевой задачи, будем иметь в виду только нетривиальные решения. В решаемой задаче возможны 3 случая.

С л у ч а й I. (корни соответствующего характеристического уравнения комплексные).

. Тогда общее решение уравнения (12.52):

Находим и , используя краевые условия (12.53):

или

и или . Если , то имеем тривиальное решение . Если же , то или , тогда решение запишется:

С л у ч а й II. (корни действительные и кратные).

. Тогда общее решение запишется:

Используя краевые условия, получаем:

Решение тривиальное: .

С л у ч а й III. (корни действительные и разные).

. Общее решение:

Учитывая граничные условия, получаем:

В ы в о д: если , то краевая задача (12.52)-(12.53) имеет бесконечное число решений вида:

Если же , то единственным решением будет тривиальное решение .

12.3 Задача Штурма-Лиувилля. Понятие о собственных числах и собственных функциях

Линейное дифференциальное уравнение вида

(12.54)

называется уравнением Штурма-Лиувилля. (Штурм Ж. (1803-1855), Лиувилль Ж. (1809-1822) – французские математики).

К рассмотрению уравнений такого типа приводят решения физических задач о продольном изгибе стержня, о колебаниях ограниченной струны, круглой мембраны и некоторые другие.

Задачей Штурма-Лиувилля называется краевая задача об отыскании на некотором отрезке ненулевых решений уравнения (12.54) из тех значений , при которых существуют такие решения, удовлетворяющие одному из вариантов однородных краевых условий:

; (12.55)

; (12.56)

ограничено при . (12.57)

Условия (12.55) и (12.56) могут быть представлены по аналогии с равенствами (12.49) линейными комбинациями

. (12.58)

При решении задачи предполагается, что в уравнении (12.54) функции , непрерывны на и, кроме того, ; – некоторое число, параметр уравнения. Эти условия являются достаточными для существования решения задачи Штурма-Лиувилля.

Рассмотренный выше пример 1 является частным случаем задачи Штурма-Лиувилля при .

Значения параметра , при которых существуют ненулевые решения уравнения (12.54), удовлетворяющие однородным граничным условиям (12.58), называются собственными числами (характеристическими значениями), а сами эти решения – собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля.

Множества всех собственных чисел и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля обладают следующими основными свойствами:

1) все собственные числа неотрицательны;

2) количество собственных чисел бесконечно велико, но их можно перенумеровать в порядке возрастания, тогда они образуют некоторую монотонно возрастающую числовую последовательность;

3) каждому собственному числу соответствует собственная функция, определенная с точностью до некоторого постоянного множителя;

4) собственные функции, соответствующие различным собственным числам, попарно ортогональны на с весом и образующим бесконечную последовательность функций: .

Многие физические задачи приводят к уже известному нам уравнению Бесселя (12.31):

. (12.59)

Общее решение этого уравнения при любом целом имеет вид:

, (12.60)

где соответственно – функции Бесселя первого рода, – функции Бесселя второго рода (функции Неймана) порядка .

Так, при решении задачи о собственных радиальных колебаниях круглой мембраны, закрепленной по контуру , приходят к уравнению:

которое является частным случаем (при ) уравнения

. (12.61)

Покажем, что уравнение (12.61) приводится с точностью до обозначений к уравнению (12.59), а с другой стороны – к уравнению (12.54) Штурма-Лиувилля, т.е. что уравнения (12.61) и (12.59) являются частными случаями уравнения (12.54). Выполним линейную замену независимой переменной в уравнении (12.61), приняв (). При этом, перейдя от дифференцирования по к дифференцированию по , найдем: