Табличне інтегрування. Обчислення інтегралів (метод заміни перемінного, метод інтегрування вроздріб)і: Практичне заняття № 1

Практичне заняття №1.

“Табличне інтегрування. Обчислення інтегралів

(метод заміни перемінного, метод інтегрування вроздріб)”

I. Табличне інтегрування. Таблиця основних інтегралів

1)       .                                        2)          .

3)       .                                    4)       .

5)       .        6)          .

7)       .                            8)          .

9)       .                            10)          .

11)     .                      12)          .

13)     .                   14)          .

15)     .

Приклад 1.

Використовуючи табличні інтеграли, знайти інтеграл .

Рішення.

.

Використовували властивості інтегралів 4 і 5, а також формули 1, 2.

Приклад 2.

Використовуючи табличні інтеграли, знайти інтеграл .

Рішення.

.

Приклад 3.

Використовуючи табличні інтеграли, знайти інтеграл .

Рішення.

.

Приклад 4.

Використовуючи табличні інтеграли, знайти інтеграл .

Рішення.

.

Перетворимо підінтегральну функцію, використовувавши формулу , і розділимо почленно чисельник і знаменник.

II. Метод підстановки або заміни перемінної

Якщо підінтегральна функція має вигляд , то заміняють  і в такий спосіб від складної функції переходять до простій . Увівши позначення  і продиференціювавши обидві частини цієї рівності: , тобто інтеграл приводиться до табличного, після узяття інтеграла, тобто визначення первісної функції , повертаються до перемінного х.

Приклад 1.

Методом заміни перемінного обчислити інтеграл .

            Рішення.

         

Приклад 2.

Методом заміни перемінного обчислити  інтеграл .

            Рішення.

          Тому що , позначимо , тоді  і

.

Приклад 3.

Методом заміни перемінного обчислити  інтеграл .

            Рішення.

          .

Помітивши, що похідна  дорівнює , замінимо:

, ,

і тоді .

Приклад 4.

Методом заміни перемінного обчислити  інтеграл .

            Рішення

Тому що , то робимо заміну  і .

Отже, .

III. Метод інтегрування вроздріб

Нехай  і  – безперервні, диференціюємі функції. Відомо, що .

Проінтегруємо обидві частини цієї рівності:

,  і  і , отже , або остаточно

 – формула інтегрування вроздріб.

Приклад 1.

Методом  інтегрування вроздріб знайти .

Рішення.

Позначимо 3х+2=u і диференціюємо: ,

інтегруємо: .

Підставивши у формулу інтегрування вроздріб, одержимо:

.

Приклад  2.

Методом  інтегрування вроздріб знайти .

Рішення.

Позначимо , , , .

Маємо .

Приклад  3.

Методом  інтегрування вроздріб знайти .

Рішення.

Позначимо , , , .

Маємо

Приклад  4.

Методом  інтегрування вроздріб знайти .

Рішення.

Позначимо , , , .

Маємо

.