Стійкість нелінійних систем. Методи Ляпунова. Функції Ляпунова. Їхні основні властивості. Теореми Ляпунова, страница 4

Так як за умовою похідна функції  має з нею протилежний знак , то функція  при  уздовж траєкторії не зростає. Тому

.

З іншого боку, тому що точка  належить сфері , то , що суперечить попередній.

Виходить, траєкторія поточної точки  не виходить за межі кулі  й рух системи стійкий.

Теорема 2. Якщо диференціальні рівняння обуреного руху такі, що можна знайти знаковизначену функцію , похідна  якої в силу цих умов була б теж знаковизначеною функцією, але протилежного з  знака, то незбурений рух асимптотичне стійкий.

Доведення. У відмінності від попередньої теореми  й може звертатися в нуль тільки на початку координат. Тому в цьому випадку точка, відразу ж після початку руху входить усередину  кривій. Припускаючи функцію  обумовлено-додатною, одержуємо за умовою теореми , звідки маємо, що функція  монотонно убуває, будучи обмеженою функцією . А це значить, що при  функція  прагне до деякої межі , тобто точка , прагне із зовнішньої сторони до деякої граничної кривої . Покажемо, що . Доведемо від супротивного. Нехай , а - найбільше від’ємне значення функції  в замкнутій області між кривими  й . Тоді в зазначеній області має місце оцінка

.

Тоді, з огляду на останню нерівність, одержуємо

,

де  - значення функції  при . З останнього співвідношення одержуємо

.

Так як , то, починаючи з деякого  функція  стане від’ємною, що суперечить умові обумовлено-додатної функції . Значить допущення  невірно, тоді . Таким чином, точка  при  прагне до нуля, звідки витікає асимптотична стійкість незбуреного руху.

Теорема 3 (Четаєва). Якщо для системи (3.56) існує функція  для якої в як завгодно малої околиці точки спокою  при  існує область  і функція  в цій області обмежена, а її похідна  в силу системи (3.56) додатна, причому в області, де , , то точка спокою системи нестійка.

Доведення. Розглянемо коло , що містить область , а в колі  точку , у якій . Розглянемо деяку траєкторію  або поточну точку , що починається в точці  і покажемо, що в деякий момент часу  поточна точка  потрапить на границю кола .

Якщо покласти протилежне, що поточна точка  траєкторії при  не вийде за межі , то будемо мати нерівність , а, значить і нерівність , що суперечить умові обмеженості функції W в області :

    при

отримане протиріччя показує, що в будь-якій околиці точки спокою існує траєкторія , що при  виходить за межі кола . Виходить, точка спокою системи нестійка.

Коментарі до теорем. Для нестійкості системи досить установити, що вона має хоча б одну траєкторію, що бере початок в - околиці точки спокою й необмежено зростає при , . Під функціями  розуміють такі функції, які дорівнюють нулю не тільки в точці спокою, а й на деяких необмежених поверхнях , які проходять через цю точку, причому хоча б в одній області, обмеженої двома такими поверхнями  при . Такою є в теоремі область .

Розглянуті вище теореми показують, що вирішальну роль у справі дослідження руху систем на стійкість грають функції  або, які в силу рівнянь збуреного руху повинні мати деякі певні властивості. Однак ці теореми не вказують методу побудови цих функцій. Відзначимо, що не існує загального методу побудови функцій Ляпунова (хоча для цієї мети й існують деякі прийоми, застосовувані в окремих випадках) і успіх на цьому шляху забезпечується тільки дотепністю й досвідом дослідника.

У найпростіших випадках функцію Ляпунова можна шукати у вигляді

,       ,

                і т.д.

Розглянемо деякі приклади.

Приклад 1. Дослідити стійкість системи

,      .

Розв’язання. Рівняння першого наближення не дозволили нам відповістити на запитання про стійкість нульового розв'язання системи. Побудуємо функцію Ляпунова у вигляді , що є додатньо-визначеною. Використовуючи рівняння збуреного руху, обчислюємо повну похідну функції Ляпунова

.

Tак як похідна  виявляється обумовлено-від’ємною функцією, то на підставі теореми 2 робимо висновок, що нульове розв'язання асимптотично стійке.

Приклад 2. Дослідити стійкість системи.

,  .

Розв’язання. Візьмемо як функція Ляпунова безперечно додатна функцію . Обчислимо повну похідну