Особливо корисно це твердження у випадку . Тоді
крива
замкнута й містить усередині себе початок
координат. Ми доведемо це твердження, якщо покажемо, що будь-яка неперервна
крива
, що виходить із початку координат
і йде до якої-небудь точки
границі квадрата (3.57) неодмінно перетне
криву
, якщо тільки
не перевершує
деякого додатного числа
. З неперервності
функції
маємо, що серед її значень на границі
квадрата можна знайти найбільше й найменше значення. Нехай
- найменше значення функції на границі
квадрата, тоді
.
Виберемо значення параметра таким, щоб
. На кривій
функція
неперервна, тому на ній вона приймає всі
значення, що лежать між
й
. Отже, у деякій точці
кривої
ця
функція прикмет і значення рівне
. Але звідси маємо, що в
точці
крива
перетинає
криву
. Аналогічно доводиться ця властивість для
функції
.
Наслідок 1. Якщо , то поверхня
розташована
усередині поверхні
, причому обидві ці поверхні не
мають загальних точок.
Ознака 2. Якщо
точка, що зображує, переміщається убік зростання
обумовлено-додатної функції
, то фазова траєкторія
цієї точки перетинає поверхню
зсередини назовні, а
при русі убік убування функції
– зовні усередину (для
обумовлено-від’ємної функції
– навпаки).
Розглянуті властивості виконуються лише в досить малій околиці точки рівноваги (початку координат). Візьмемо на поверхні (3.62) довільну точку М и обчислимо в ній градієнт функції V:
(3.63)
де -
орти осей
. Вектор
спрямований
по нормалі до поверхні (3.62) у точці
убік
зростання функції
, тобто зсередини поверхні
назовні у випадку безперечно додатної функції й зовні усередину цієї поверхні у
випадку обумовлено-від’ємної функції.
Введемо в розгляд швидкість точки, що
зображує. З рівнянь збуреного руху (3.56)
маємо, що функції
є проекціями вектора швидкості
на відповідні осі
.
Але тоді формулу (3.60), з огляду на (3.63), можна представити у вигляді
(3.64)
Похідна дає можливість простежити за
рухом точки, що
зображує .
Нехай у цей момент точка
займає певне положення на фазовій площині.
Візьмемо довільну обумовлено-додатною функцію
й
побудуємо поверхню
, що проходить через точку
.
а) якщо в розглянутому положенні точки
, то функція
убуває,
а це значить, що точка, що
зображує, переходить
зовні усередину
поверхні (див. наслідок 2)
б) якщо , т з (3.64) маємо, що кут між
векторами
й
прямій,
тобто, що фазова траєкторія в розглянутому положенні точки
торкається поверхні
.
в) якщо , те функція V зростає, а це
значить, що точка, що зображує, переходить зсередини назовні поверхні V=C.
Теорема1. Якщо
диференціальні рівняння збуреного руху такі, що можна знайти знаковизнечену
функцію , похідна
якої в
силу цих рівнянь була б знакопостійною функцією протилежного зі
знака або тотожно дорівнює нулю, то
незбурений рух стійкий.
Доведення. Для гарної
наочності результатів доказ проведемо для .
Виберемо довільне й побудуємо квадрат
(3.57). Потім усередині цього квадрата побудуємо криву
=С.
Це завжди можна зробити, тому що функція V неперервна й дорівнює нулю на
початку координат. Побудуємо далі квадрат
,
(3.65)
так, щоб він лежав усередині
кривій . Для визначеності покладемо, що
– обумовлено-додатня функція. Тоді в силу
теореми
й
, де
- значення функції
при
. Тоді
. З
останньої нерівності й результатів попереднього параграфа маємо, що при
точка
,
почавши рух з будь-якої
точки квадрата (3.65),
за увесь час руху не вийде за межі квадрата (3.57), звідки й витікає стійкість
незбуреного руху.
Проведемо доказ у загальному випадку.
Нехай для визначеності для системи (3.56) існує знаковизначена додатна
функція Ляпунова . Це не обмежує спільності
міркувань, тому що множенням на (-1) знакододатні функції звертаються в
знаковід’ємні й навпаки.
Позначимо через
-мірну
кулю радіуса
фазового простору із центром на початку
координат, а через
- поверхню кулі. Нехай
на поверхні кулі при
. Підберемо таке
, щоб для будь-якої точки кулі
виконувалася нерівність
при
.
Виберемо якусь точку
і розглянемо траєкторію
, що починається в точці
. Припустимо, що ця траєкторія при
виходить за межі сфери
в деякій точці
,
і покажемо, що наше допущення суперечливо.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.