,
.
Записуємо характеристичне рівняння й знаходимо характеристичні числа
,
.
Тому що одне з характеристичних чисел додатне, то нульове розв'язання заданої системи нестійке.
Приклад 2: Дослідити стійкість збуреного руху
,
.
Розв’язання В околиці
точки спокою справедливі розкладання Маклорена:
,
. З
огляду на розкладання, система першого наближення запишеться
або
.
Записуємо характеристичне рівняння й знаходимо його корені
,
,
.
Так як, дійсні частини характеристичних чисел від’ємні, то нульове розв'язання нелінійної системи асимптотично стійке.
Приклад 3. Дослідити стійкість нелінійної системи
,
.
Розв’язання. Система першого наближення
,
вирішуємо характеристичне рівняння
,
,
.
Тому що дійсні частини характеристичних чисел дорівнюють нулю, то в цьому випадку по рівняннях першого наближення не можна судити про стійкість нульового розв'язання нелінійної системи.
Розглянемо деякий збурений стаціонарний рух
(3.56)
де функції неперервні в області
, де
- деяка
постійна й допускає єдине розв'язання системи (3.56) для будь-яких початкових
умов й у силу стаціонарності руху не залежить явно від
.
Так як аналітичне розв'язання системи (3.56), як правило, одержати
неможливо, основним методом дослідження стійкості руху системи є другий
(прямій) метод Ляпунова. Відповідно до цього методу введемо в розгляд дійсні
функції , де
-
варіації, визначені в деякій околиці точки рівноваги
,
(3.57)
однозначні й неперервні разом зі своїми першими частинними похідними в цій околиці й рівноваги, що звертаються в нуль у точці
.
(3.58)
Введемо деякі поняття щодо цих функцій.
Означення 1. Функція
називається знаковизначеною (від’ємною
визначеною або додатною – визначеною), якщо вона за умови (3.57) (
- досить мале додатне число) може приймати
значення тільки одного визначеного знака й звертається в нуль тільки при
.
Означення 2.
Функція називається знакопостійною (додатної або невід’ємної),
якщо вона в області (3.57) може приймати значення тільки одного визначеного
знака, але може звертатися в нуль і при
.
Означення 3. Функція
називається знакозмінної, якщо вона не є
ні знаковизначеною, ні знакопостійною, і, отже, як би не було мало число
, і може приймати в області (3.57) як
додатні, так і від’ємні значення.
У теорії стійкості вивчається поведінка функції уздовж фазових траєкторій
досліджуваної системи диференціальних рівнянь для того, щоб на основі такого
вивчення зробити висновок про стійкість і нестійкість траєкторій. Функції
, що мають указане вище призначення,
називають звичайно функціями Ляпунова. Розглянемо найпростіші приклади
таких функцій.
Приклад 1. Розглянемо
функцію . У будь-якій точці
відмінної
від початку координат вона приймає тільки додатні значення й звертається в нуль
при
. Отже, розглянута функція є додатною
визначеною.
Приклад 2. Функція від’ємних значень не приймає, але в нуль
звертається не тільки в точці
, але й у всіх точках
прямій
(поверхня торкається площини
по прямій
). Отже,
ця функція знакопостійна (додатна), але не знаковизначена.
Приклад 3. Функція буде очевидно знакозмінною.
Розглянемо функцію Ляпунова . Її аргументи
, будучи варіаціями, являють собою функції
, що задовольняють рівнянням збуреного руху
(3.56), де
,
(3.59)
Але тоді буде складною функцією часу
.
Ознака 1. Повна похідна за часом функції Ляпунова в точці рівноваги дорівнює нулю.
Дійсно, використовуючи правило диференціювання складної функції й рівняння (3.56), знаходимо
. (3.60)
Звідси в силу (3.59)одержуємо
(3.61)
Ознака 2. Нехай - безперечно додатна функція й
– від’ємний параметр. Тоді поверхня
(3.62)
замкнута й містить усередині себе початок координат.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.