Постановка задачи теории управления: Практическое занятие № 1

Практическое занятие  1.

Тема: Постановка задачи теории управления.

Цель занятия : ознакомление с методикой построения дифференциальных уравнений движения динамического объекта управления. Разбор типовых примеров. Постановка задачи оптимального управления.

Реальные системы управления, как правило, достаточно сложны. Приведенные ниже примеры используются в основном для иллюстрации задач теории управления. Поэтому рассматриваемые системы управления отличаются максимальной простотой и наглядностью.

Пример 1.1. Предположим, что некоторая материальная точка  массы  может двигаться только по прямой линии, вдоль которой на точку действует сила . Положение точки  характеризуется координатой  (рис. 1.1).

Пусть известны граничные условия, т.е. положение точки  в начальный  и конечный  моменты времени , соответственно

,   ,                                        (1.1)

а также начальная и конечная скорости точки

,     .                                          (1.2)

Если пренебречь силами сопротивления движению, то согласно второму закону Ньютона уравнение движения точки  можно представить в следующем виде

,   или   ,                        (1.3)

где .

При решении задач управления принято пользоваться понятиями фазового пространства и фазовых координат.

Введем следующие обозначения  и . Тогда уравнение (1.3) можно записать в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка

                                           (1.4)

Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных, называется нормальной. Так что система (1.4) представлена в нормальной форме.

Переменные  и  являются фазовыми координатами двухмерного фазового пространства (фазовой плоскости). Время  в явном виде не входит. При изменении  изображающая точка  перемещается по фазовой плоскости, прочерчивая линию, которая называется фазовой траекторией (рис.1.2).

Фазовые координаты дают возможность записать граничные условия (1.1) и (1.2) в следующем виде

                               (1.5)

Фазовые траектории по существу являются графической интерпретацией решения системы дифференциальных уравнений (1.4) с краевыми условиями (1.5).

Задание граничных условий (1.5) и выбор возможного управления  определяют единственным образом непрерывное движение или фазовую траекторию . Вектор  называется фазовым вектором. Показателем качества процесса управления (или критерием оптимальности) является числовое значение некоторого функционала .

На основе (1.4) и (1.5) можно сформулировать несколько задач оптимального управления движением точки , которые будут отличаться критериями оптимальности и видом ограничений.

Задача оптимального быстродействия. В этом случае критерием оптимальности является время переходного процесса , т.е. – нефиксированная величина и функционал имеет вид

.                               (1.6)

Необходимо найти оптимальные управление  и траекторию , удовлетворяющие (1.4), (1.5) и доставляющие минимум функционалу (1.6). При этом могут быть дополнительные условия, например, ограничение на управление .

Задача оптимальной производительности. В этом случае критерием оптимальности является наибольшее расстояние  за определенное время , т.е. функционал имеет вид

.                                          (1.7)

Необходимо найти оптимальные процесс управления  и траекторию , удовлетворяющие (1.4), начальным условиям , , конечным условиям  и доставляющие максимум функционалу (1.7). При этом могут быть дополнительные условия, например, ограничение на управление .

Задача оптимальной экономичности. В этом случае критерием оптимальности является расход энергии за определенное время. Функционал имеет вид

.                                          (1.8)

Необходимо найти оптимальные процесс управления  и траекторию , удовлетворяющие системе (1.4), начальным условиям , , конечным условиям ,  и доставляющие минимум функционалу (1.8). При этом могут быть дополнительные условия, например, ограничение на управление .

Можно, варьируя условия, поставить еще ряд задач.

Пример 1.2.

Движение плоского маятника, подвешенного к точке опоры при помощи жесткого невесомого стержня (рис. 1.3), описывается уравнением

,                         (1.9)

где – длина жесткого стержня маятника, – масса, сосредоточенная в конце стержня, – момент инерции, – гравитационная постоянная (ускорение силы тяжести), –коэффициент демпфирования, – время, – внешний управляющий момент, – угол отклонения стержня от точки устойчивого равновесия.

Если сделать замену переменной , то уравнение (1.9) можно привести к виду

,                                         (1.10)

где    ,    ,    .

Введем следующие обозначения:  – угол отклонения маятника,  – скорость изменения угла отклонения маятника. Тогда уравнение (1.10) запишется в виде эквивалентной системы двух уравнений первого порядка