Обчислення площ, об'ємів, довжин кривих за допомогою визначених інтегралів. Фізичний додаток

Лекція 8

План.

1.  Обчислення площ, об'ємів, довжин кривих за допомогою визначених інтегралів.

2.  Фізичний додаток.

1. Обчислення площ, об'ємів, довжин кривих за допомогою визначених інтегралів.

Обчислення площ плоских фігур у прямокутних координатах

З геометричного змісту визначеного інтеграла випливає, що площа криволінійної трапеції, розташованої вище осі Ох ( ), дорівнює

          або               .

Площу фігури, обмеженої кривими  і , прямими  і  (за умови, що  і ), можна знайти за формулою

.

Обчислення площі криволінійної трапеції, обмеженої кривою , віссю OY і прямими  і  ( ), можна зробити за формулою .

Обчислення площі фігур у полярних координатах

Знайдемо площу S криволінійного сектора, тобто плоскої фігури, обмеженою безперервною лінією  і двома променями φ=α і φ=β (α <β), де r і φ – полярні координати.

Вважаємо частину шуканої площі S як функцію кута φ, тобто , де .

Якщо кут φ одержить збільшення Δφ=dφ, то збільшення площі ΔS дорівнює площі «елементарного» криволінійного сектора ОАВ.

Диференціал d являє собою головну частину збільшення ΔS при dφ→0 і дорівнює площі кругового сектора ОАС радіуса r з центральним кутом dφ. Тому .

Інтегруючи отриману рівність у межах від φ=α до φ=β, одержимо шукану площу

.

Наприклад: обчислити площу фігури, обмеженої лінією .

Знайдемо площу половини фігури, при цьому кут φ буде змінюватися від 0° до 180°.

Обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартовій системі координат

Під довжиною дуги АВ розуміють межу, до якої прагне довжина ламаної лінії, уписаної в цю дугу, коли число ланок ламаної необмежено зростає, а довжина найбільшої її ланки прагне до нуля.

Якщо функція  і її похідна  безперервні на відрізку , то крива АВ має довжину, яка дорівнює

.

Розіб'ємо відрізок  на n рівних частин, проведемо хорди , довжини яких позначимо через , одержимо

.

З  можна знайти довжину хорди за теоремою Піфагора:

, тому що ,

те .

Довжина всієї ламаної  дорівнює

.

За  визначенням довжина l кривій АВ дорівнює:

,    або

.

Якщо рівняння кривій АВ задано в параметричній формі:

, де , функції ,  – безперервні функції, то довжина дуги знаходиться за формулою:

, тому що , .

Наприклад: рівняння окружності в параметричному виді записується:

,         де .

Обчислимо довжину окружності:

.

Обчислення довжини дуги в полярних координатах

Нехай крива АВ задана рівнянням у полярних координатах , , тоді

.

Наприклад: знайти довжину кардіоїди , .

Знайдемо половину довжини кардіоїди

Отже, l=8а.

Обчислення обсягу тіла обертання

Нехай потрібно визначити обсяг V тіла, утвореного обертанням навколо вісі Ох криволінійної трапеції АВС. Нехай рівняння кривої DС є .

Розділимо відрізок АВ на n малих частин крапками, абсциси яких позначимо через . Проведемо з крапок розподілу прямі, паралельні вісі Оу. Криволінійна трапеція АВС розіб'ється при цьому n на «тонких» трапецій, довжини основ яких позначимо через .

Тіло, що вийде після обертання трапеції АВС, виявиться розбитим на n частин. Шуканий обсяг V також розіб'ється на n частин.

Замінимо криволінійну трапецію за номером i прямокутником з довжиною  і висотою . Кожен такий прямокутник утворить круглий циліндр, обсяг якого дорівнює .

Складемо інтегральну суму

,

яка являє собою наближений вираз шуканого обсягу.

При переході до межі одержимо обсяг тіла

.

Отже, , де .

2. Фізичний додаток.

Статистичні моменти, центр ваги і моменти інерції плоскої кривої

Нехай на площині ХОY дано n матеріальних крапок , маси яких відповідно рівні .

З механіки відомо, що статичні моменти системи цих крапок осей Ох і Оу визначаються формулами

,     .

При  (сума мас) координати центра ваги даної системи визначаються формулами:

;        .

Нехай потрібно визначити статистичний момент (щодо осей Ох і Оу) і центр ваги дуги, що для простоти вважаємо однорідною щільністю, рівною 1.

Розділимо дугу АВ на n малих частин крапками

.

Приймемо довжину дуги S, відлічувану від деякого початку Q, за параметр кривої.

Позначимо координати крапок розподілу відповідно:

,

а довжини дуг  позначимо . Припустимо, що маса  дуги , рівна , зосереджена в деякій крапці  цієї дуги.

Складемо інтегральні суми:

,    ,    .

Перші дві з цих сум є наближеними виразами статичних моментів дуги АВ щодо осей Оу й Ох. Третя сума дає довжину всієї дуги АВ. Тоді наближені вирази координат центра ваги дуги АВ можна записати так:

,     .

Перейшовши до межі, одержимо статичні моменти дуги АВ щодо осей Ох і Оу:

           та                .

Довжину дуги АВ виразимо інтегралом: .

Тоді координати центра ваги дуги АВ визначається формулами:

,            .

Нехай на площині ХОY дано n матеріальних крапок

,

маси яких відповідно рівні . З механіки відомо, що моменти інерції такої системи щодо осей Ох і Оу і початку координат визначаються формулами:

,     ,     .

Нехай тепер замість системи кінцевого числа матеріальних крапок маємо дугу АВ кривої .

Проводячи аналогічні міркування, одержимо наступні формули для її моментів інерції щодо осей Ох і Оу і крапки О:

,       ,       .

Механічні додатки визначеного інтеграла

Робота перемінної сили

Нехай матеріальна крапка М переміщується уздовж осі Ох під впливом перемінної сили , спрямованої паралельно до цієї осі. Робота, зроблена силоміць при переміщенні крапки М з положення х = а в положення х = b (а < b), знаходиться за формулою

.

Тиск рідини на вертикальну пластину

Тиск рідини на горизонтальну пластину дорівнює вазі цієї рідини, що має основою пластину, а висотою – глибину її занурення від поверхні рідини, тобто ,

де      q – прискорення вільного падіння;            γ – щільність пластини;

          S – площа пластини;                                    h – глибина її занурення.

За цією формулою не можна шукати тиск рідини на вертикально занурену пластину, тому що її різні крапки лежать на різних глибинах.

Нехай у рідину занурена вертикально пластина, обмежена лініями х=а, х=b, , . Система координат обрана, як на малюнку:

Знайдемо тиск Р рідини на цю пластину, для цього вважаємо частину шуканої величини Р функцією від х: , тобто  – тиск на частину пластини, що відповідає відрізкові  значень перемінної х, де  (, ).

Дамо аргументові х збільшення . Функція  одержить збільшення . Знайдемо диференціал dp цієї функції. Через малість dx будемо приблизно вважати смужку прямокутником, усі крапки якого знаходяться на одній глибині х, тобто пластина ця – горизонтальна. Тоді за законом Паскаля  .

Інтегруючи отриману рівність у межах від х = а до х = b, одержимо

            або              .