Методи розв'язання лінійних систем диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами, страница 4

Приклад 2.. Знайти елементарні дільники матриці:

Розв’язання. Будуємо характеристичне рівняння й знаходимо його корінь:

Ранг матриці дорівнює число елементарних дільників, що відповідають  дорівнює  Отже, елементарним дільником, що відповідає  буде Тому що друге характеристичне число простої, то елементарними дільниками матриці A будуть:

Приклад 1. Дано матрицю  знайти її елементарні дільники.

Розв’язання

Простому характеристичному числу  відповідає простий елементарний дільник (l– 1). Для двократного характеристичного числа  ранг матриці

дорівнює 1, отже, число елементарних дільників  Тому елементарними дільниками матриці будуть l–1, l+2, l+ 2.

Приклад 4. Нехай дана діагональна матриця

Тоді характеристичне рівняння має вигляд:

або

Тут  – трикратне характеристичне число, причому тому що  є нульовою матрицею. Тому число елементарних дільників , і всі вони прості

Приклад 5. Дано матрицю:

Її характеристичне рівняння  тобто:

Тут  – просте характеристичне число й  – двократне характеристичне число. Ранги матриць:

 і  -

Тоді, з огляду на те, що n = 3, знаходимо, що число елементарних дільників, що відповідають кожному характеристичному числу  дорівнює   Отже, елементарними дільниками матриці  будуть lі

Приклад 6. Дано матрицю:

Її характеристичне рівняння:

 або має трикратне характеристичне число Ранг матриці  дорівнює двом , тому число елементарних дільників, що відповідають буде Таким чином елементарний дільник матриці має вигляд

Приклад 7. Дано матрицю

Її характеристичне рівняння або , або має характеристичне число в кратності 3. Ранг матриці  дорівнює . Отже, число елементарних дільників , і вони мають вигляд (l – b),

Побудуємо для заданої квадратної матриці A подібну матрицю в нормальної жорданової формі (2.31). При цьому вважаємо, що числове поле K - комплексне, і елементарні дільники мають вигляд:

      (j = 1,2,…,u)...                                              (2.33)

де – характеристичні числа.

Розглянемо один з елементарних дільників цього виду

і поставимо йому у відповідність наступну квадратну матрицю p-го порядку:

                                            (2.40)

називану «нижньої» жордановою кліткою, що відповідає цьому елементарному дільнику. Можна показати й зворотне, що матриця (2.40) має лише один елементарний дільник

Позначимо «нижні» жорданові  клітки, що відповідають елементарним дільникам (2.33), через (j=1,2,…,u)... Тоді квазідіагональна матриця n-го порядку структури :

має своїми елементарними дільниками степеня (2.33) і називається жордановою нормальною формою матриці A.

Матрицю J можна ще записати так:

.

Жорданова форма характеризується квазідіагональним видом і структурою (2.40) діагональних кліток. Оскільки матриці A й J мають ті самі елементарні дільники, то вони подібні між собою, тобто існує деяка неособлива матриця U така, що

                          (2.41)

Так, наприклад, жорданова матриця J з елементарними дільниками  має вигляд:

.

Якщо всі елементарні дільники матриці A першого степеня, то в цьому випадку жорданова матриця є діагональною й

                                               (2.42)

Таким чином нормальна жорданова форма розглянутих матриць (їхня клітинна структура уздовж головної діагоналі) повністю визначається структурою елементарних дільників. Згідно (2.40), (2.41), для побудови подібної матриці в жорданової формі потрібно лише знання всіх елементарних дільників матриці A. Кожному елементарному дільнику потрібно побудувати відповідну жорданову клітку («нижню»), а по них і подібній матриці в жорданової формі.

Розглянемо кілька прикладів на приведення заданих матриць до жорданової форми, використовуючи приклади 1-7.

Приклад 8. З огляду на, що елементарні дільники матриці  (приклад 1) прості: l, l–1, l+1, жорданова форма матриці буде мати вигляд

Приклад 9. Тому що елементарними дільниками матриці  (приклад 2) є  то нормальна жорданова форма матриці буде квазідіагональною:

структури {2,1}.

Приклад 10. Елементарні дільники матриці (приклад 3) прості:

.

Нормальна жорданова форма запишеться:

Приклад 11. З огляду на, що елементарні дільники матриці (приклад 4) прості (l–b);(l–b);(l–b), то жорданова форма матриці буде мати вигляд

Приклад 12. Тому що елементарні дільники матриці  (приклад 5) мають вигляд lі то жорданова форма матриці  буде квазідіагональною:

Приклад 13. Тому що елементарний дільник матриці (приклад 6) має вигляд то жордановою формою цієї матриці буде матриця:

Приклад 14. З огляду на те, що елементарні дільники матриці (приклад 7) мають вигляд нормальна жорданова форма цієї матриці запишеться: