якщо –
недіагональні квадратні матриці відповідних порядків
головні діагоналі яких складають головну
діагональ всієї матриці A, а всі елементи матриці A, не приналежним матрицям
, дорівнюють нулю.
Алгебраїчні операції з діагональними й квазідіагональними матрицями
мають свою специфіку. Якщо й
,то:
(2.21)
Якщо ,
–
квазідіагональні матриці n-го порядку однакової структури, то маємо:
(2.22)
Нульовою степінню матриці називають одиничну матрицю того ж порядку,
тобто
.
Операція транспонування добутку матриці здійснюється за правилом:
(2.23)
Цілою від’ємною степінню матриці A називається ціла додатна
степінь зворотної матриці , тобто:
Укажемо деякі властивості визначників матриць:
Многочленною квадратною матрицею або l - матрицею називається матриця , елементи якої є
многочленами від l:
,
(2.24)
де p – найвища степінь
многочленів .
Позначимо через найбільший загальний
дільник всіх мінорів j-го порядку матриці
(j =
1,2,…,n)... У кожному
беремо старший коефіцієнт, рівним
одиниці. Тоді в ряді
кожен многочлен ділиться без залишку на наступний. Позначимо відповідні частки найбільших загальних дільників мінорів так :
,
, … ,
(2...25)
Многочлени обумовлені формулами (2.25),
називаються інваріантними многочленами квадратної l-матриці
Елементарними операціями над многочленною матрицею вважають:
1) множення k-го рядка (або стовпця) на число ;
2) додавання до якогось k-го рядку (або стовпцю) l-го рядку (або
стовпця), попередньо помножених на довільний многочлен ;
3) перестановка місцями k-го й l-го рядків (або стовпців).
Дві матриці й
називаються
еквівалентними, якщо одна з них виходить із інший шляхом застосування
елементарних операцій. Має місце наступна теорема:
Многочленна
квадратна матриця завжди
еквівалентна канонічній діагональній матриці:
, (2.26)
де r – ранг, а
– інваріантні многочлени матриці
.
Таким чином, інваріантні многочлени залишаються незмінними при переході
от однієї матриці к іншій, їй еквівалентній. Разкладемо інваріантні многочлени матриці
на
неприводимі в даному числовому полі K множники:
(2.27)
k = 1,2,…,s,
де (i
= 1,2,…,s) – всі різні, що не приводять у поле K многочлени (зі старшими коефіцієнтами,
рівними одиниці), причому деякі з показників
можуть
дорівнювати нулю.
Всі відмінні від одиниці степені многочленів,
що не приводять, у розкладанні (2.26) називаються елементарними дільниками
матриці
в поле K.
Для матриці до складу
й наступних
(i = n –
1,…,1) будуть входити для різних характеристичних чисел
(k
= 1,2,…,u<n) множники виду
. Отже, інваріантні
многочлени:
(k = 1,…,n)
у своєму складі можуть мати
лише множники виду , які називають елементарними
дільниками.
Розглянемо питання побудови для заданої квадратної матриці A подібної
матриці в нормальної жорданової формі. Нехай U – деяка невироджена матриця . Тоді перетворення
(2.28)
яке визначає матрицю B по заданій матриці A називається перетворенням подоби з матрицею подоби U, а матриці A й B називаються подібними. Для розв'язання поставленої задачі будемо використати теорему:
Для того щоб дві квадратні матриці й
були подібні
, необхідно
й досить, щоб вони мали ті самі інваріантні многочлени або, що ті ж саме, ті
самі елементарні дільники в поле K .
Нехай, задано квадратну матрицю n-го
порядку із числовими коефіцієнтами з поля K. Знайдемо елементарні дільники
матриці й позначимо їх
(2.29)
а відповідні супровідні
матриці – через .
Супровідною матрицею для многочлена
називають квадратну матрицю порядку m виду:
(2.30)
Обчисливши характеристичний многочлен матриці L переконаємося, що він
збігається з многочленом Тому що
– єдиний елементарний дільник матриці
(i = 1,2,…,n), то квазідіагональна матриця:
(2.31)
має своїми елементарними
дільниками многочлени (2.29), тобто елементарні дільники матриці A. Тоді в силу
сформульованого критерію подоби, матриці A і подібні,
тобто завжди існує така невроджена матриця U, що:
(2.32)
Матрицю називають нормальною формою
матриці A, що характеризується:
1) квазідіагональним видом (2.31);
2) спеціальною структурою діагональних кліток (2.30);
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.