Методи розв'язання лінійних систем диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами, страница 2

якщо  – недіагональні квадратні матриці відповідних порядків   головні діагоналі яких складають головну діагональ всієї матриці A, а всі елементи матриці A, не приналежним матрицям , дорівнюють нулю.

Алгебраїчні операції з діагональними й квазідіагональними матрицями мають свою специфіку. Якщо й ,то:

                                          (2.21)

Якщо ,  – квазідіагональні матриці n-го порядку однакової структури, то маємо:

                                     (2.22)

Нульовою степінню матриці  називають одиничну матрицю того ж порядку, тобто .

Операція транспонування добутку матриці здійснюється за правилом:

                                                        (2.23)

Цілою від’ємною степінню матриці A називається ціла додатна степінь зворотної матриці , тобто:

Укажемо деякі властивості визначників матриць:

Многочленною квадратною матрицею або l - матрицею називається матриця , елементи якої є многочленами від l:

,                                        (2.24)

де p – найвища степінь многочленів .

Позначимо через найбільший загальний дільник всіх мінорів j-го порядку матриці  (j = 1,2,…,n)... У кожному беремо старший коефіцієнт, рівним одиниці. Тоді в ряді

кожен многочлен ділиться без залишку на наступний. Позначимо відповідні частки найбільших загальних дільників мінорів так :

, , … ,                   (2...25)

Многочлени  обумовлені формулами (2.25), називаються інваріантними многочленами квадратної l-матриці

Елементарними операціями над многочленною матрицею вважають:

1) множення k-го рядка (або стовпця) на число ;

2) додавання до якогось k-го рядку (або стовпцю) l-го рядку (або стовпця), попередньо помножених на довільний многочлен ;

3) перестановка місцями k-го й l-го рядків (або стовпців).

Дві матриці  й  називаються еквівалентними, якщо одна з них виходить із інший шляхом застосування елементарних операцій. Має місце наступна теорема:

Многочленна квадратна матриця завжди еквівалентна канонічній діагональній матриці:

,                                 (2.26)

де r – ранг, а  – інваріантні многочлени матриці .

Таким чином, інваріантні многочлени залишаються незмінними при переході от однієї матриці к іншій, їй еквівалентній. Разкладемо інваріантні многочлени  матриці на неприводимі в даному числовому полі K множники:

                                         (2.27)

        k = 1,2,…,s,

де  (i = 1,2,…,s) – всі різні, що не приводять у поле K многочлени (зі старшими коефіцієнтами, рівними одиниці), причому деякі з показників можуть дорівнювати нулю.

Всі відмінні від одиниці степені  многочленів, що не приводять, у розкладанні (2.26) називаються елементарними дільниками матриці в поле K.

Для матриці  до складу  й наступних (i = n – 1,…,1) будуть входити для різних характеристичних чисел (k = 1,2,…,u<n) множники виду . Отже, інваріантні многочлени:

    (k = 1,…,n)

у своєму складі можуть мати лише множники виду , які називають елементарними дільниками.

Розглянемо питання побудови для заданої квадратної матриці A подібної матриці в нормальної жорданової формі. Нехай U – деяка невироджена матриця . Тоді перетворення

                                                       (2.28)

яке визначає матрицю B по заданій матриці A називається перетворенням подоби з матрицею подоби U, а матриці A й B називаються подібними. Для розв'язання поставленої задачі будемо використати теорему:

Для того щоб дві квадратні матриці й були подібні , необхідно й досить, щоб вони мали ті самі інваріантні многочлени або, що ті ж саме, ті самі елементарні дільники в поле K .

Нехай, задано квадратну матрицю  n-го порядку із числовими коефіцієнтами з поля K. Знайдемо елементарні дільники матриці й позначимо їх

                                                  (2.29)

а відповідні супровідні матриці – через .

Супровідною матрицею для многочлена

називають квадратну матрицю порядку m виду:

                                             (2.30)

Обчисливши характеристичний многочлен матриці L переконаємося, що він збігається з многочленом Тому що  – єдиний елементарний дільник матриці (i = 1,2,…,n), то квазідіагональна матриця:

                                                (2.31)

має своїми елементарними дільниками многочлени (2.29), тобто елементарні дільники матриці A. Тоді в силу сформульованого критерію подоби, матриці A і подібні, тобто завжди існує така невроджена матриця U, що:

                                                      (2.32)

Матрицю називають нормальною формою матриці A, що характеризується:

1) квазідіагональним видом (2.31);

2) спеціальною структурою діагональних кліток (2.30);