Метод інтегрувальних комбінацій розв'язання систем: Практичне заняття № 3

Практичне заняття №3

Тема заняття: Метод інтегрувальних комбінацій розв'язання систем.

I. Перевірка виконаного домашнього завдання.

II. Теоретичне опитування:

1. Дайте визначення інтегрувальної комбінації.

2. Що потрібно зробити із системою, щоб одержати інтегрувальну комбінацію?

3. Якими будуть інтегрувальні комбінації у випадку однорідних і неоднорідних нормальних систем?

4. Як нормальну систему записати в симетричній формі?

5. Яка ідея побудови інтегрувальної комбінації у випадку симетричних систем?

6. Як можна використовувати властивість ряду рівних відносин для побудови інтегрувальних комбінацій?

7. Скільки потрібно будувати інтегрувальних комбінацій для одержання розв'язання?

III. Розв'язання задач:

Розв’язати методом інтегрувальних комбінацій наступні системи:

            1.

Розв'язання. Складаючи обидва рівняння, одержуємо , звідки , або .

Віднімаючи обидва рівняння, одержуємо , звідки .

Отже, знайдені два перших інтеграли даної системи ,, які є незалежними, тому що якобіан

.

Загальний інтеграл даної системи , . Розв'язуючи цю систему щодо невідомих функцій, одержуємо загальне розв'язання вихідної системи:

, .

            Відповідь: , .

2.  .

Розв'язання. Запишемо дану систему у вигляді

 або

Складаючи останні рівняння, одержуємо , або . Звідси знаходимо перший інтеграл . Тому що , то друге рівняння системи прийме вид , звідки . Отже

, ,

звідки одержуємо загальне розв'язання , .

            Думаючи  в цих рівностях, знайдемо , , тобто , і шукане частинне розв'язання буде , .

            Відповідь: , .

3.  4.  5.  6.  7.

8  9.  . 10.  

11. 12 . 13  14.

Розв’язати симетричні системи:

1. .

Розв'язання: Перша інтегрувальна комбінація . Розділяючи змінні й інтегруючи, знайдемо перший інтеграл .

            Другу інтегрувальну комбінацію одержимо, використовуючи похідні пропорції. Для цього складемо чисельники й знаменники дробів даної системи: , тут , , . Звідси , або  й, виходить, .

            Перші інтеграли  й  дають загальний інтеграл системи , , з якого знаходимо загальне розв'язання системи

, .

Відповідь: , .

2. .

Розв'язання: Так як , те  або  – перший інтеграл. Із другого рівняння:

; .

Ділимо на :

Тому що . Тоді  запишеться:

.

Перші інтеграли системи:

Відповідь:

3. . 4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

IV. Домашнє завдання:

1. Підготувати теоретичний матеріал по темі «Загальна теорія лінійних систем».

2. Розв’язати вдома задачі, що залишилися

3. Принести виконану частину індивідуального завдання по заданій темі.

4. Підготується до самостійній роботі із пройденого матеріалу на 45 хвилин.