Криволінійні інтеграли. Умова незалежності інтеграла від лінії інтегрування. Інтегрування повних диференціалів. Первісна функція, страница 3

2.Криволінійний інтеграл не залежить від лінії інтегрування, що з'єднує дві дані точки.

3.Вираз є повним диференциалом.

4.В усіх точках області має місце рівність;;.

Останнє твердження буде доведено в лекції 10 після ознайомлення з теоремою Стокса. Це твердження є необхідною умовою того, щоб вираз був повним диференціалом, до інтегрування якого ми і приступимо.

8.2. Інтегрування повних диференціалів. Первісна функція

Будемо розглядати криволінійний інтеграл (7.2), вважаючи, що виконано всі умови, про які говорилося в попередньому пункті, а саме; контур L належить однозв'язній області, у якій функції і їхні частинні похідні неперервні, і виконується умова . Тоді величина інтеграла (7.2) залежить винятково від початкової і кінцевої точок лінії інтегрування і він може записуватися у виді, де координати початкової точки лінії інтегрування, а – кінцевої. Який же найбільш доцільний спосіб обчислення такого інтеграла? Здавалося б, найпростіше інтегрувати по відрізку прямої, який з'єднує дані точки. Однак це не так. Найраціональніше обчислювати інтеграл вздовж прямих паралельних координатним осям.

Будемо інтегрувати по ламаній (чи ), ланки якої паралельні осям координат (рис. 8.3).Обчислимо елементи, які потрібні нам для переходу до визначеного інтеграла на ділянці : елементи, які потрібні нам для переходу до визначеного інтеграла на ділянці : . Підставимо ці значення в (*).

Рис.8.3.

=. Аналогічну формулу одержимо для інтегрування вздовж ламаної . Якщо координати верхньої точки є координатами поточної точки, то в результаті такого інтегрування ми одержимо функцію , повний диференціал якої і стояв під криволінійним інтегралом. Цю функцію, яку називають первісною, ми знаходимо з точнівстю до постійної величини С. Якщо ж верхня границя є точка з конкретними координатами , то інтеграл буде дорівнювати приросту первісної тобто (8.2)

(8.2) називають формулою Ньютона-Лейбніца для криволінійного інтеграла від повного диференціала.

У випадку коли криволінійний інтеграл від повного диференціала береться по просторовій кривій від точки до точки М поступають аналогічно плоскому випадку. Інтеграл знаходять вздовж ламаної з ланками паралельними координатним осям (рис. 8.4).

Як і в плоскому випадку запишемо елементи, які потрібні нам для переходу до визначеного інтеграла на ділянці : . Елементи, які потрібні нам для переходу до визначеного інтеграла на ділянці : . Елементи, які потрібні нам для переходу до визначеного інтеграла на ділянці : . Підставляючи знайдені величини в три інтеграли, кожен з яких має вид, одержимо=

+=.

Формула Ньютона-Лейбніца для криволінійного інтеграла від повного диференціала в трьохвимірному просторі має вид:

=. (8.3)

Як і плоскому випадку, якщо верхня границя є точка з конкретними координатами , то інтеграл буде дорівнювати приросту первісної, тобто у формулі (8.3) замість верхніх границь x, y, z треба поставити .