Знакоперемінні ряди. Ряди, що знакочергуються. Теорема Лейбніца. Оцінка залишку. Абсолютна й умовна збіжність рядів

Лекція 3

План.

1.  Знакоперемінні  ряди. Ряди, що знакочергуються.

2.  Теорема Лейбніца.

3.  Оцінка залишку. Абсолютна й умовна збіжність рядів.

1. Знакоперемінні  ряди. Ряди, що знакочергуються

Визначення 1. Ряд називається знакочергуючимся,  якщо будь-які його члени, що стоять поруч мають протилежні знаки

.                                                 (1)

Тут  – позитивні.

Визначення 2. Ряд називається знакоперемінним, якщо серед його членів маються як позитивні, так і негативні (знакочергуючийся ряд – окремий випадок знакоперемінного).

2. Теорема Лейбница. Якщо в знакочергуючомуся ряді  (1)  члени такі, що

1.

2. ,

то ряд (1) збігається, його сума позитивна і не перевершує першого члена ряду.

Доказ.

Розглянемо суму  перших членів ряду (1)

.

З умови (1) випливає, що .

Перепишемо цю суму інакше

.

Кожна дужка позитивна в силу умови (1). Тому . Таким чином,  при зростанні m зростає й обмежена зверху. Звідси випливає, що  має межу S.

,                    .

Доведена лише збіжність парних сум. Розглянемо непарну суму

.

 – у силу умови (2) теореми.

Тобто ряд (1) збігається.

Наприклад:

1)

2) .

Отже, по теоремі Лейбніца ряд збігається.

3. Оцінка залишку. Абсолютна й умовна збіжність рядів.

Наслідок з теореми Лейбніца

(оцінка залишку знакочергуючогося ряду)

Якщо знакочергуючийся ряд задовольняє умові теореми Лейбніца, то можна оцінити помилку, що вийде, якщо замінити його суму S частковою сумою . При такій заміні відкидаються всі члени ряду починаючи с. Але ці числа самі утворять знакочергуючийся ряд, сума якого по абсолютній величині менше першого члена цього ряду, тобто . Виходить, помилка, зроблена при заміні S на , не перевершує по абсолютній величині перших з відкинутих членів.

Визначення. Знакоперемінний ряд називається абсолютно збігаючимся, якщо збігається ряд, складений з абсолютних величин його членів.

Наприклад:  – ряд збігається по ознаці Лейбніца.

Складемо ряд з абсолютних величин його членів.  – збігається, це випливає з інтегральної ознаки Коші. Тоді по визначенню сам знакоперемінний ряд  збігається абсолютно.

Визначення. Знакоперемінний ряд називається умовно збігаючимся, якщо він збігається, а ряд, складений з абсолютних величин членів знакоперемінного ряду, розбігається.

Наприклад:

Знакочергуючийся ряд збігається по ознаці Лейбніца. Ряд, складений з абсолютних величин членів  – розбігається. Це випливає з інтегральної ознаки Коші. Виходить, знакочергуючийся ряд умовно збігається.