Контрольна робота № 7
«Функції декількох змінних»
Задача 1. Знайти й зобразити область визначення
функції 
.
1.1. 
1.2.
1.3. 
1.4.
1.5. 
1.6.
1.7. 
1.8.
1.9. 
1.10.
Задача 2. Обчислити границі функцій.
2.1. 
2.2.
2.3. 
2.4.
2.5. 
2.6.
2.7. 
2.8.
2.9. 
2.10.
Задача 3.
3.1. Показати, що функція 
задовольняє рівнянню
Лапласа: 
3.2. Показати, що функція 
задовольняє рівнянню
Лапласа:
3.3. Показати, що функція 
задовольняє рівнянню
Лапласа:
3.4. Показати, що функція 
, де 
задовольняє рівнянню Лапласа:
3.5. Показати, що функція 
, де 
, задовольняє рівнянню Гельмгольца: 
3.6. Показати, що функція 
, де , задовольняє рівнянню Гельмгольца:
3.7. Показати, що функція 
, де 
, а 
–
довільні константи, задовольняє бігармонічному рівнянню Максвела: 
.
3.8. Показати, що функція 
, де 
– довільні двічі диференційовані функції,
задовольняє хвильовому рівнянню: 
.
3.9. Нехай функція 
задовольняє
телеграфному рівнянню : 
. Якому рівнянню
задовольняє функція 
? Яким буде це рівняння, якщо 
?
3.10. Показати, що функція 
задовольняє рівнянню
теплопровідності: 
.
Задача 4. Знайти частинні похідні вказаних порядків.
4.1. 
якщо 
. 4.2.
якщо 
.
4.3. 
якщо 
. 4.4.
якщо 
.
4.5. якщо 
. 4.6.
якщо 
.
4.7. 
якщо 
. 4.8.
якщо 
.
4.9. якщо 
. 4.10.
якщо 
.
Задача 5. Замінюючи приріст функції її диференціалом, обчислити наближено.
5.1. 
5.2.
5.3. 
5.4.
5.5. 
5.6.
5.7. 
5.8.
5.9. 
5.10.
Задача 6. Знайти повні диференціали першого і другого порядків від функцій.
6.1. 
6.2.
6.3. 
6.4.
6.5. 
6.6.
6.7. 
6.8.
6.9. 
6.10.
Задача 7. Знайти повні диференціали першого і другого
порядків від складних функцій (
– незалежні змінні).
7.1. 
, де 
. 7.2.
, де 
.
7.3. 
. 7.4.
, де 
.
7.5. 
. 7.6.
, де 
.
7.7. , де 
. 7.8.
, де 
.
7.9. 
. 7.10.
.
Задача 8. Для функції 
знайти
градієнт в точці 
і похідну в точці за напрямком вектора 
.
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.
8.9.
8.10.
Задача 9. Знайти похідну 
функції
заданої неявно.
9.1. 
. 9.2.
.
9.3. 
. 9.4.
.
9.5. 
. 9.6.
.
9.7. 
. 9.8.
.
9.9. 
. 9.10.
.
Задача 10. Знайти частинні похідні 
функції 
заданої
неявно.
10.1. 
. 10.2.
.
10.3. 
. 10.4.
.
10.5. 
. 10.6.
.
10.7. 
. 10.8.
.
10.9. 
. 10.10.
.
Задача 11. Написати рівняння дотичної площини і
рівняння нормалі до поверхні в даній точці 
.
11.1. 
. 11.2.
.
11.3. 
. 11.4. 
.
11.5. 
. 11.6. 
.
11.7. 
. 11.8. 
.
11.9. 
. 11.10. 
.
Задача 12. Дослідити на екстремум функцію.
12.1. 
. 12.2. 
.
12.3. 
. 12.4. 
.
12.5. 
. 12.6.
.
12.7. 
. 12.8. 
.
12.9. 
. 12.10. 
.
Задача 13. Знайти умовні екстремуми функції.
13.1. 
при
. 13.2.
при 
.
13.3. 
при
. 13.4.
при 
.
13.5. 
при
. 13.6.
при 
.
13.7. при
. 13.8.
при 
.
13.9. 
при
. 13.10.
при 
.
Задача 14. Знайти найбільше і найменше значення функції
в області 
.
14.1. 
14.2. 
14.3. 
14.4. 
14.5. 
14.6. 
14.7. 
14.8. 
14.9. 
14.10. 
Задача 15.
15.1. Виготовити з жерсті, з найменшими затратами матеріалу, прямокутну коробку (без кришки) заданої місткості
15.2. В дану кулю діаметра 
вписати прямокутний
паралелепіпед найбільшого об’єму.
15.3. Знайти розміри циліндричної посудини найбільшої місткості з
заданою площею поверхні 
.
15.4. Сума ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює 
. Які розміри має паралелепіпед найбільшого
об’єму?
15.5. Знайти прямокутний паралелепіпед найбільшого об’єму за умови, що
довжина його діагоналі дорівнює .
15.6. Знайти конус (обертання) даного об’єму 
з
найменшою повною поверхнею.
15.7. В кулю діаметра вписати циліндр з
найменшою повною поверхнею.
15.8. З усіх прямокутних паралелепіпедів з даною повною поверхнею знайти той, який має найбільший об’єм.
15.9. Визначити розміри конуса найбільшого об’єму за умови, що його
бокова поверхня дорівнює .
15.10. Серед усіх прямокутних трапецій, одна з бічних сторін яких
лежить на відрізку 
, а конці іншої на графіці 
, знайти ту, що має найбільшу площу.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.