Екстремум функції декількох перемінних. Умовний экстремум. Найбільше і найменше значення функції в замкнутій області

Лекція 3

План.

1.  Екстремум функції декількох перемінних.

2.  Умовний экстремум. Найбільше і найменше значення функції в замкнутій області.

1. Екстремум функції декількох перемінних

Экстремум функції.

Функція  має максимум (мінімум) у крапці , якщо значення функції в цій крапці більше (менше), чим її значення в будь-якій іншій крапці  деякої околиці крапки , тобто  [відповідно ] для всіх крапок , що задовольняють умові , де δ – досить мале позитивне число.

Максимум або мінімум функції називається її экстремумом. Крапка , у якій функція має экстремум, називається крапкою экстремума.

Якщо диференціюємо  функція  досягає экстремума в крапці , то її приватні похідні першого порядку в цій крапці дорівнюють нулеві, тобто

,                

(необхідні умови экстремума).

Крапки, у яких приватні похідні дорівнюють нулеві, називаються стаціонарними крапками. Не всяка стаціонарна крапка є крапкою экстремума.

Нехай  – стаціонарна крапка функції . Позначимо

,   ,  

і складемо дискримінант . Тоді:

якщо Δ > 0, то функція має в крапці  экстремум, а саме максимум при А < 0 (або З < 0) і мінімум при А > 0 (або З > 0);

якщо Δ < 0, то в крапці  экстремума немає (достатні умови наявності або відсутності экстремума);

якщо Δ = 0, то потрібне подальше дослідження (сумнівний випадок).

Приклад 1.

Знайти экстремум функції .

Рішення. Знаходимо приватні похідні першого порядку:

,             .

Скориставшись необхідними умовами экстремума, знаходимо стаціонарні крапки:

відкіля х = 0, у = 3; М (0; 3).

Знаходимо значення приватних похідних другого порядку в крапці М

,               ,              

і складаємо дискримінант

.

Отже, у крапці М (0; 3) задана функція має мінімум. Значення функції в цій крапці .

Приклад 2.

Знайти экстремум функції

.

Рішення. Знаходимо приватні похідні першого порядку:

,           .

Скориставшись необхідними умовами экстремума, знаходимо стаціонарні крапки:

            або              

Звідси х =21, у = 20; стаціонарна крапка М (21; 20).

Знайдемо значення других похідних у крапці М:

,           ,            .

Тоді

Тому що А < 0, то в крапці М (21; 20) функція має максимум: .

2. Умовний экстремум. Найбільше і найменше значення функції в замкнутій області.

Умовним экстремумом функції  називається экстремум цієї функції, досягнутий за умови, що перемінні х и у зв'язані рівнянням  (рівняння зв'язку).

Відшукання умовного экстремума можна звести до дослідження на звичайний экстремум так називаної функції Лагранжа

,

де λ –  невизначений постійний множник.

Необхідні умови экстремума функції Лагранжа мають вигляд

З цієї системи трьох рівнянь можна знайти невідомі х, у і λ.

Для того, щоб знайти найбільше і найменше значення функції в замкнутій області, треба:

1) знайти стаціонарні крапки, розташовані в даній області, і обчислити значення функції в цих крапках;

2) знайти найбільше і найменше значення функції на лініях, що утворять границю області;

3) їх усіх знайдених значень вибрати найбільше і найменше.

Приклад 1.

Знайти экстремум функції  за умови, що х и у зв'язано рівнянням .

Рішення. Розглянемо функцію Лагранжа . Маємо , . Із системи рівнянь (необхідні умови экстремума)

знаходимо, що λ = −5/12, х = 5/4, у = 5/6. Неважко бачити, що в крапці (5/4; 5/6) функція  досягає найбільшого значення .

Приклад 2.

З усіх прямокутних трикутників із заданою площею S знайти такий, гіпотенуза якого має найменше значення.

Рішення. Нехай х и у – катети, а z – гіпотенуза трикутника. Тому що , те задача зводиться до знаходження найменшого значення функції  за умови, що х и у зв'язано рівнянням , тобто . Розглянемо функцію  і знайдемо її приватні похідні

,                .

Тому що , , то із системи рівнянь

одержуємо рішення λ = −2, х = у = .

Таким чином, гіпотенуза має найменше значення, якщо катети трикутника рівні між собою.

Приклад 3.

Знайти найменше і найбільше значення функції  в колі .

Рішення. Тут розглядається область D, обмежена окружністю , включаючи і крапки окружності.

Знайдемо стаціонарні крапки даної функції; маємо , ; у силу необхідних умов экстремума знаходимо, що х = 0, у = 0.

Неважко бачити, що в крапці (0; 0) функція  має найменше значення , причому зазначена крапка є внутрішньою крапкою області D.

Досліджуємо на умовний экстремум функцію , якщо х и у зв'язані співвідношенням . Розглянемо функцію

.

Знаходимо приватні похідні

,             .

Для визначення х, у і λ одержуємо систему рівнянь

Ця система має два рішення: ,  і ,  і . Виходить, найбільше значення функція приймає в крапці .

Отже, , .