Дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами, страница 3

П р и м е р  1. Найти решение в виде степенного ряда уравнения:

.                                      (10.23)

Р е ш е н и е. Решение этого уравнения в элементарных функциях имеет вид: . Будем искать решение  в виде степенного ряда

.           (10.24)

Покажем, что ряд (10.24) сходящийся и дважды дифференцируемый (условия теоремы существования выполнены). Вычислим  и :

.  (10.25)

Подставляя (10.24) и (10.25) в уравнение (10.23), получаем тождество:

Так как сходящиеся степенные ряды являются абсолютно сходящимися внутри интервала сходимости, предыдущее равенство можно привести к виду:

.  (10.26)

Отсюда следует, что все коэффициенты ряда (10.26) равны нулю, т.е.:

.

Т.о., оставляя произвольными  и  (они не определяются из этих уравнений), будем иметь:

.

Подставляя найденные значения коэффициентов в (10.24) и группируя члены с  и , получаем:

.(10.27)

Очевидно, что ряды, стоящие в скобках равномерно сходящиеся при , производные этих рядов тоже равномерно сходятся на том же интервале. Учитывая, что:

получаем известное решение:

.

Применяя ряды, мы, по сути, ищем частные решения дифференциального уравнения, но в виде ряда.

П р и м е р  2. Найти частное решение дифференциального уравнения:

,                                 (10.28)

если:

                            (10.29)

Р е ш е н и е. Решение  ищем в виде ряда:

. (10.30)

Из (10.30) с учетом (10.29), получаем . Дифференцируем (10.30) и используем (10.29), получаем:

.   (10.31)

. Из (10.31), получаем:

.        (10.32)

Подставим (10.32) и (10.30) в (10.28) и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  в левой и правой части, получаем:

 

Аналогично:  

.

П р и м е р  3. Решить уравнение:

,                  (10.33)

где . Это уравнение называют уравнением Бесселя порядка , хотя впервые его получили и нашли решение в виде ряда Д. Бернулли и Л. Эйлер. К этому уравнению приводятся многие задачи физики, механики и астрономии.

Решение уравнения (10.33) будем искать в виде так называемого обобщенного степенного ряда:

,   (10.34)

где  не целое число, которое надо определить. Полагаем, что ряд (10.34) является решением уравнения (10.33), значит, он сходящийся и дважды дифференцируемый, будем иметь:

.    (10.35)

Подставив (10.35) и (10.34) в (10.33), получаем:

                      или

 или .

Забрав из первой суммы два первых слагаемых, последнее тождество можно записать в виде:

.                (10.36)

В связи с неопределенностью степени  можно положить . Тогда тождество (10.36) будет иметь место при условии, что

,                                              (10.37)

,                                     (10.38)

.             (10.39)

Уравнение (10.37) называют определяющим уравнением. Из него имеем  или  . Подставляя в (10.38) , получим:

.

Далее из (10.39) будем иметь (при ):

,

при :

и вообще . Значит, все коэффициенты с нечетным индексом являются нулями, а с четным индексом –

.

Подставив найденные значения коэффициентов в (10.34), подучим одно частное решение уравнения (10.33):

,

где  – произвольная постоянная. Этому решению можно придать более удобный вид, если выбрать произвольное постоянное , где  – гамма-функция Эйлера, определяемая как несобственный интеграл:

, при любом .

Эта функция обладает свойством . Эта формула, повторно примененная, дает . Учитывая, что , в случае натурального , получаем:

.                      (10.40)

Это частное решение (10.40) обычно обозначается  и называется функцией Бесселя первого рода порядка.

Аналогично, при , выбираем , получаем функцию Бесселя первого рода порядка:

.              (10.41)

Ряды (10.40) и (10.41) сходятся при любых значениях  (в (10.41) ) и допускают двукратное почленное дифференцирование, следовательно,  и  являются решением уравнения Бесселя.

При ,не равном целому числу, решения  и , очевидно, линейно независимые, так как их разложения в ряды начинаются с различных степеней  и, следовательно, линейная комбинация  тождественно равна  нулю лишь при . Тогда общее решение уравнения Бесселя при , не равном целому числу, запишется:

,                      (10.42)

где  и  находятся по формулам (10.40) и (10.41).

При равном целому числу функции  и линейно зависимые, т.к. и вместо  выбирают другое линейно независимое решение – так называемую функцию Бесселя второго рода, определяемую как:

,

( , где  не целое число,  – целое). Тогда при  равном целому числу, общее решение запишется:

,

где  и  – произвольные постоянные.