П р и м е р 1. Найти решение в виде степенного ряда уравнения:
. (10.23)
Р е ш е н и е. Решение этого уравнения в элементарных функциях имеет вид: . Будем искать решение в виде степенного ряда
. (10.24)
Покажем, что ряд (10.24) сходящийся и дважды дифференцируемый (условия теоремы существования выполнены). Вычислим и :
. (10.25)
Подставляя (10.24) и (10.25) в уравнение (10.23), получаем тождество:
Так как сходящиеся степенные ряды являются абсолютно сходящимися внутри интервала сходимости, предыдущее равенство можно привести к виду:
. (10.26)
Отсюда следует, что все коэффициенты ряда (10.26) равны нулю, т.е.:
.
Т.о., оставляя произвольными и (они не определяются из этих уравнений), будем иметь:
.
Подставляя найденные значения коэффициентов в (10.24) и группируя члены с и , получаем:
.(10.27)
Очевидно, что ряды, стоящие в скобках равномерно сходящиеся при , производные этих рядов тоже равномерно сходятся на том же интервале. Учитывая, что:
получаем известное решение:
.
Применяя ряды, мы, по сути, ищем частные решения дифференциального уравнения, но в виде ряда.
П р и м е р 2. Найти частное решение дифференциального уравнения:
, (10.28)
если:
(10.29)
Р е ш е н и е. Решение ищем в виде ряда:
. (10.30)
Из (10.30) с учетом (10.29), получаем . Дифференцируем (10.30) и используем (10.29), получаем:
. (10.31)
. Из (10.31), получаем:
. (10.32)
Подставим (10.32) и (10.30) в (10.28) и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части, получаем:
Аналогично:
.
П р и м е р 3. Решить уравнение:
, (10.33)
где . Это уравнение называют уравнением Бесселя порядка , хотя впервые его получили и нашли решение в виде ряда Д. Бернулли и Л. Эйлер. К этому уравнению приводятся многие задачи физики, механики и астрономии.
Решение уравнения (10.33) будем искать в виде так называемого обобщенного степенного ряда:
, (10.34)
где не целое число, которое надо определить. Полагаем, что ряд (10.34) является решением уравнения (10.33), значит, он сходящийся и дважды дифференцируемый, будем иметь:
. (10.35)
Подставив (10.35) и (10.34) в (10.33), получаем:
или
или .
Забрав из первой суммы два первых слагаемых, последнее тождество можно записать в виде:
. (10.36)
В связи с неопределенностью степени можно положить . Тогда тождество (10.36) будет иметь место при условии, что
, (10.37)
, (10.38)
. (10.39)
Уравнение (10.37) называют определяющим уравнением. Из него имеем или . Подставляя в (10.38) , получим:
.
Далее из (10.39) будем иметь (при ):
,
при :
и вообще . Значит, все коэффициенты с нечетным индексом являются нулями, а с четным индексом –
.
Подставив найденные значения коэффициентов в (10.34), подучим одно частное решение уравнения (10.33):
,
где – произвольная постоянная. Этому решению можно придать более удобный вид, если выбрать произвольное постоянное , где – гамма-функция Эйлера, определяемая как несобственный интеграл:
, при любом .
Эта функция обладает свойством . Эта формула, повторно примененная, дает . Учитывая, что , в случае натурального , получаем:
. (10.40)
Это частное решение (10.40) обычно обозначается и называется функцией Бесселя первого рода порядка.
Аналогично, при , выбираем , получаем функцию Бесселя первого рода порядка:
. (10.41)
Ряды (10.40) и (10.41) сходятся при любых значениях (в (10.41) ) и допускают двукратное почленное дифференцирование, следовательно, и являются решением уравнения Бесселя.
При ,не равном целому числу, решения и , очевидно, линейно независимые, так как их разложения в ряды начинаются с различных степеней и, следовательно, линейная комбинация тождественно равна нулю лишь при . Тогда общее решение уравнения Бесселя при , не равном целому числу, запишется:
, (10.42)
где и находятся по формулам (10.40) и (10.41).
При равном целому числу функции и линейно зависимые, т.к. и вместо выбирают другое линейно независимое решение – так называемую функцию Бесселя второго рода, определяемую как:
,
( , где не целое число, – целое). Тогда при равном целому числу, общее решение запишется:
,
где и – произвольные постоянные.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.