Дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами, страница 2

В самом деле, по формуле (10.4) . Полагая , получаем  или , если  и , если .

З а м е ч а н и е  1. Учитывая, что частные решения полученного уравнения с постоянными коэффициентами ищем в виде  и , то замена  сразу дает возможность получить характеристическое уравнение.

З а м е ч а н и е  2. Замена  уравнения Лагранжа приводится к уравнению Эйлера:

,

которое рассмотрено в предыдущем пункте.

П р и м е р  6. Решить уравнение . Это уравнение Лагранжа, следовательно, имеет место подстановка . Тогда  и , , , , , , ,  ,следовательно,  т.к.  и , то . Итого ответ:

.

П р и м е р  7. .

Р е ш е н и е..

Подстановка: ; .

Подставляем в уравнение , ; , т.к.  . . Тогда: , .

Ответ: .

10.1.3 Уравнение Чебышева

Уравнение Чебышева – это уравнение вида:

.                    (10.15)

Точки  и  являются особыми точками этого уравнения. В каждом из интервалов  выполнены условия теоремы существования и единственности.

Построим общее решение уравнения (10.15) при . Из формулы (10.4) получаем:

.                              (10.16)

Полагая  и опуская постоянную интегрирования, получаем:

 или , или .         (10.17)

В силу подстановки получаем:

;

.

Подставляя в (10.15) и заменяя x на , получаем:

;

 или .         (10.18)

Решаем однородное уравнение: ,   т.к. , то

.            (10.19)

П р и м е р  8. Решить уравнение: .

Р е ш е н и е. По формуле (10.19) общее решение запишется:

.

З а м е ч а н и е  1. При  проводим замену  ( при  и , при ). Общее решение в этом случае: .

З а м е ч а н и е  2. Иногда линейная замена искомой функции тоже может привести уравнение (10.1) к уравнению с постоянными коэффициентами. В частности, для этой цели используют подстановку

,                               (10.20)

которая приводит уравнение (10.1) к уравнению, не содержащему члена с производной -го порядка.

10.2 Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов

Решение дифференциального уравнения только в отдельных случаях удается выразить через элементарные функции или их первообразные. В то же время нам известно, что при наличии определенных условий любая функция  может быть представлена в виде степенного ряда. Поэтому вполне естественно, зная, что решение дифференциального уравнения существует (теорема существования это гарантирует) ставить вопрос о нахождении его в виде степенного ряда.

Условия, при которых существуют решения в виде суммы степенного ряда или обобщенного степенного ряда, обычно устанавливаются методами теории функций комплексного переменного, поэтому основные теоремы этого параграфа дадим без доказательства в применении к наиболее часто встречающимся в приложениях уравнениям второго порядка.

Т е о р е м а  ( о б  а н а л и т и ч н о с т и  р е ш е н и я ). Если  являются аналитическими функциями  в окрестности точки  и , то решения уравнения:

               (10.21)

также являются аналитическими функциями в некоторой окрестности той же точки и, следовательно, решения уравнения (10.21) можно искать в виде

Т е о р е м а  ( о  р а з л о ж и м о с т и  р е ш е н и я  в  о б о б щ е н –

н ы й  с т е п е н н о й  р я д ). Если уравнение (10.21) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, но  является нулем конечного порядка  функции , нулем порядка  или выше функции , (если ) и нулем порядка не ниже  коэффициента  (если ), то существует, по крайней мере, одно нетривиальное решение уравнения (1’) в виде суммы обобщенного степенного ряда

 

,         (10.22)

где  - некоторое действительное число, которое может быть как целым, так и дробным, как положительным, так и отрицательным.

Второе линейно независимое с (10.22) решение, как правило, имеет тоже вид суммы обобщенного степенного ряда, но иногда может еще содержать произведение обобщенного степенного ряда на .

При решении же конкретных задач можно обойтись без сформулированных выше двух теорем, тем более, что эти теоремы в указанной формулировке все равно не устанавливают области сходимости рассматриваемых рядов. Чаще всего в конкретных задачах подбирают степенной или обобщенный степенной ряд, формально удовлетворяющий дифференциальному уравнению, то есть при подстановке обращающий степенной ряд рассматриваемое уравнение в тождество, если предполагать сходимость ряда и возможность почленного дифференцирования  раз. В той области, где ряд сходится и допускает - кратное почленное дифференцирование, но не только формально удовлетворяет уравнению, то его сумма действительно является искомым решением.

Проиллюстрируем этот метод на конкретных дифференциальных уравнениях второго порядка.