Диференціювання випадкового процесу. Інтегрування випадкового процесу

Лекція 6

План:

1. Диференціювання випадкового процесу.

1.1. Визначення диференційованого випадкового процесу і його характеристики.

1.2. Необхідна умова диференційованості випадкового процесу.

1.3. Достатня умова диференційованості випадкового процесу.

2. Інтегрування випадкового процесу.

2.1. Визначення інтеграла від випадкового процесу.

2.2. Імовірностні характеристики інтеграла від випадкового процесу.

1.  Диференціювання випадкового процесу.

1.1. Визначення диференційованого випадкового процесу і його характеристики

Визначення. Випадковий процес  називається диференційованим у середньоквадратичному в т. , якщо існує среднеквадратический межа виду

                            (6.1)

Межа (6.1) називають среднеквадратической похідній від випадкового процесу. Якщо ця похідна існує в будь-якій крапці  деякого інтервалу, то випадковий процес називається диференційованим на інтервалі.

Нехай задані вероятностные характеристики випадкового процесу . Знайдемо вероятностные характеристики похідної випадкового процесу . Знайдемо мат. чекання від обох частин рівності (6.1), використовуючи властивості мат. чекання:

1)  мат. чекання від межі дорівнює межі мат. чекань;

2)  невипадковий множник може бути винесений за знак мат. чекання.

Тоді

.          (6.2)

Т.е. мат. чекання похідній дорівнює похідній мат. чекання.

Введемо в розгляд випадковий процес . Використовуючи визначення центрованого випадкового процесу , одержуємо

.                                        (6.3)

Дійсно,

.

На підставі (6.3) можна змінювати місцями операції центрування випадкового процесу і диференціювання.

1.2. Необхідна умова диференційованості випадкового процесу

Визначимо взаємно кореляційні функції для двох випадкових процесів  і , приймаючи в увагу безперервність кореляційної функції  для безперервного випадкового процесу.

.

Отже,

.                              (6.4)

Аналогічно, можна одержати 

.                            (6.5)

Перейдемо до обчислення кореляційної функції похідній випадкового процесу. На підставі

 

.

Отже,

                            (6.6)

Т.о. доведені теоретично дифференцируемость математичного чекання випадкового процесу й існування другої похідної від кореляційної функції є необхідна умова дифференцируемости випадкового процесу.

1.3. Достатня умова диференційованості випадкового процесу

Можна також сформулювати і достатня умова дифференцируемости.

Теорема. Для того, щоб випадковий процес  був диференціюємо, досить щоб було дифференцируемо його мат. чекання  й існувала при   друга змішана похідна від .

Приклад.

Показати, що узагальнений телеграфний сигнал не є дифференцируемым.

, .

Знайдемо  і .

;

т.о. має два значення значить випадковий процес не диференціюємо

Приклад.

 Чи буде диференціюємо , якщо , де  і  невипадкові величини, а  випадкова величина з щільністю розподілу

Рішення.

.

 отже .

По визначенню  знайдемо

при , , виходить, процес  диференціюємо.

2.   Інтегрування випадкового процесу.

2.1. Визначення інтеграла від випадкового процесу

Розглянемо невипадкову функцію від двох перемінних . Припустимо, що  кусочно-непререрывная функція по обох перемінним на відрізку  і випадковий процес  безперервний для кожного . Розіб'ємо  тоді , для кожного .

Назвемо розбивку правильним, якщо , при .

Побудуємо суму виду 

.

                      (6.7)

Назвемо  інтегралом у середньо квадратичному від випадкового процесу  (інтегральним оператором), якщо існує межа в змісті середньо квадратичного від інтегральної суми на безлічі правильних розбивок

.

Функцію  називають ядром інтегрального оператора. В окремому випадку інтеграл випадкового процесу  за умови  прийме

.                                  (6.8)

Зауваження.

Існування середньо квадратического межі означає виконання умови

.

2.2 Імовірностні характеристики інтеграла від випадкового процесу

Виразимо числові характеристики випадкового процесу  через числові характеристики  (формули (6.7) або (6.8)).

                          (6.9)

В окремому випадку (6.8)

                       (6.10)

Таким чином, математичне чекання інтеграла від випадкового процесу дорівнює інтегралові від математичного чекання.

Знайдемо кореляційну функцію від випадкового процесу  через .

(6.11)

В окремому випадку

                          (6.12)

Теорема. Кореляційна функція інтеграла від випадкового процесу дорівнює подвійному інтегралові від кореляційної функції вихідного випадкового процесу інтеграла, що коштує під знаком.

Або ж, якщо процес  інтегруємо на , тобто має місце (6.7), те интегрируемы і його числові характеристики.

Справедлива і зворотна теорема.

Теорема. Якщо числові характеристики випадкового процесу  интегрируемы на , то і самому процесі інтегруємо.

Приклад.Випадкові процеси  і  зв'язані співвідношенням

.

Знайти: , , , якщо , .

Рішення.

.

.