Двойные интегралы. Определение двойных интегралов. Повторные интегралы. Тройные интегралы

1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1.1. Определение двойных интегралов

         Пусть функция f(x) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости xOy. Разобьем эту область произвольным образом на n частей. Площадь i-го участка обозначим символом Ds_i. На каждом участке произвольно выберем какую-либо точку P_i, и пусть она в какой-либо фиксированной декартовой системе имеет координаты (x_i,y_i). Составим интегральную сумму для функции f(x,y) по области D, для этого найдем значения функции во всех точках P_i, умножим их на площади соответствующих участков Ds_i и просуммируем все полученные результаты:

.                                   (1.1)

         Двойным интегралом функции f(x,y) по области D называется предел, к которому стремится последовательность интегральных сумм (1.1) при неограниченном увеличении числа разбиений n (при этом ). Это записывают следующим образом

.                        (1.2)

         Заметим, что если двойной интеграл существует, то он не зависит от способа разбиения области D и от способа выбора точек (x_i,y_i). Следовательно, область интегрирования можно разбивать при помощи вертикальных и горизонтальных линий. Тогда большинство участков области D будет иметь прямоугольный вид. Поэтому дифференциал площади можно записать в виде ds=dxdy. Следовательно, в декартовой системе координат двойные интегралы можно записывать в виде

.                                       (1.3)

         Если подынтегральная функция f(x,y)º1, то двойной интеграл равен площади области интегрирования:

.                                          (1.4)

         Свойства двойных интегралов.

1⁰. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:

.

2⁰. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

3⁰. Если область интегрирования D разбить на две части, то двойной интеграл будет равен сумме интегралов по каждой этой части:

.

1.2. Повторные интегралы

         Повторными интегралами называются интегралы вида

.                      (1.5)

В этом выражении сначала вычисляется внутренний интеграл, т.е. производится  сначала интегрирование по переменной y (при этом переменная x считается постоянной величиной). В результате интегрирования по y получится некоторая функция по x:

.

Затем полученную функцию интегрируют по x:

.

         Пример 1.1. Вычислить интегралы:

а) ,          б) .

         Решение. а) Произведем интегрирование по y, считая, что переменная x=const. После этого производим интегрирование по x:

.

         б) Так как во внутреннем интеграле интегрирование производится по переменной x, то y³ можно вынести во внешний интеграл как постоянный множитель. Поскольку y² во внутреннем интеграле считается постоянной величиной, то этот будет табличным. В результате, получаем

.

1.3. Расстановка пределов интегрирования

Область интегрирования называется простой в каком-либо направлении, если любая прямая, проведенная в этом направлении, пересекает границу области не более чем в двух точках. Например,

Любую сложную область можно представить в виде суммы простых областей.

         Между двойными и повторными интегралами существует взаимосвязь.

         Теорема. Если область интегрирования D – простая в направлении оси Oy (см. рис.1.1а), то двойной интеграл можно записать в виде повторного следующим образом:

;                     (1.6)

если область интегрирования D – простая в направлении оси Ox (см. рис.1.1б), то двойной интеграл можно записать в виде повторного следующим образом:

.                      (1.7)

         Для того, чтобы перейти от двойного интеграла к повторному следует:

1) построить область интегрирования;

2) расставить пределы в интегралах, при этом следует помнить, что пределы внешнего интеграла должны быть постоянными величинами (т.е. числами) независимо от того, по какой переменной вычисляется внешний интеграл.

         Пример 1.2. Расставить пределы интегрирования в соответствующих повторных интегралах для двойного интеграла

,

если

а)        б)

Решение. а) Изобразим область интегрирования D (см. рис.1.2). Пусть интегрирование во внешнем интеграле производится по переменной x, а во внутреннем – по y. Расстановку пределов всегда нужно начинать с внешнего интеграла, в данном случае с переменной x. Из рисунка видно, что x изменяется от 0 до 1, при этом значения переменной y будут изменяться от значений на прямой y=x до значений на прямой y=2x. Таким образом, получаем

.

         Пусть теперь интегрирование во внешнем интеграле производится по y, а во внутреннем – по x. В этом случае значения y будут изменяться от 0 до 2. Однако тогда верхняя граница изменений значений переменной x будет состоять из двух участков x=y/2 и x=1. Это означает, что область интегрирования нужно разбить на две части прямой y=1. Тогда в первой области y изменяется от 0 до 1, а x от прямой x=y/2 до прямой x=y. Во второй области y изменяется от 1 до 2, а x – от прямой x=y/2 до прямой x=1. В результате получим