Двойные интегралы. Определение двойных интегралов. Повторные интегралы. Тройные интегралы, страница 2

.

б) Построим область интегрирования D (см. рис.1.3). Пусть во внешнем интеграле интегрирование производится по x, а во внутреннем – по y. В этом случае при изменении x от –1 до 1 изменения переменной y сверху будут ограничены двумя линиями: окружностью и прямой. На отрезке [–1;0] y изменяется от y=0 до ; на отрезке [0;1] переменная y изменяется от y=0 до y=1–x. Таким образом,

.

         Пусть теперь во внешнем интеграле интегрирование производится по y, а во внутреннем – по x. В этом случае y будет изменяться от 0 до 1, а переменная x – от дуги окружности до прямой x=1–y. В результате получим

.

         Данные примеры показывают, как важно правильно выбирать порядок интегрирования.

1.4. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат

         Пример 1.3. Вычислить двойной интеграл

         Решение. Построим область интегрирования (см. рис.1.4). Расставим пределы в соответствующих повторных интегралах и произведем вычисления. В результате, получим

.

         Пример 1.4. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями x²=y, x²=4y, y=4.

         Решение. Изобразим данную фигуру (рис. 1.5). Видно, что полученная фигура состоит из двух одинаковых областей: D₁ и D₂. следовательно

.

Интегрирование во внешнем интеграле будем производить по переменной y (в противном случае область интегрирования пришлось бы разбивать на две части). Тогда переменная y будет изменяться от 0 до 4, а переменная x, соответственно, от параболы  до параболы . В результате получаем

.

1.5. Вычисление двойных интегралов в полярной системе координат

         Наиболее употребительная система координат на плоскости – это полярные координаты. Они связаны с декартовыми координатами x и y равенствами:

                           (1.8)

где r³0,   0£j<2p.

При переходе от декартовых координат к полярным, двойной интеграл преобразуется следующим образом

.                               (1.9)

Если область интегрирования D является простой в осевом направлении, т.е. любой луч, выходящий из центра координат, пересекает границу области интегрирования не более чем в двух точках, то двойной интеграл можно записать в виде повторного:

.                            (1.10)

         Пример 1.5. Вычислить интеграл

 где .

         Решение. Перейдем в полярную систему координат x=rsinj, y=rcosj, x²+y²=r². Тогда уравнение границы области D примет вид r=2cosj. Это есть уравнение окружности
(рис. 1.6). Здесь j изменяется от –p/2 до p/2, а r от 0 до окружности r=2cosj. Таким образом, получаем

         Пример 1.6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией .

         Решение. Запишем уравнение линии в полярной системе координат

,

т.е.

.

Построим эту линию (рис. 1.7). Поскольку полученная формула симметрична относительно осей Ox и Oy, то достаточно вычислить площадь четвертой части этой фигуры, а затем умножить полученный результат на 4:

.

2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

2.1. Определение и вычисление тройных интегралов в декартовой системе координат

         По аналогии с двойным интегралом вводится понятие тройного интеграла. Пусть в некоторой замкнутой ограниченной области T трехмерного пространства задана ограниченная функция трех переменных f(x,y,z). Разобьем эту область на n произвольных частей с объемами Dv_i. В каждой частичной области возьмем произвольную точку M(x_i,y_i,z_i) и составим сумму:

,

которая называется интегральной суммой для функции f(x,y,z) по области T. Если интегральная сумма при n®¥ (при этом диаметры всех областей должны стремится к нулю: ) имеет предел, то этот предел называется тройным интегралом:

.                    (2.1)

         Отметим, что тройные интегралы обладают свойствами, аналогичные свойствам двойных интегралов.

Предположим, что область T является простой в направлении оси Oz, т.е. любая прямая, проведенная параллельно оси Oz, пересекает границу области T не более чем в двух точках. Это означает, что область T ограничена снизу поверхностью z=z₁(x,y), сверху поверхностью z=z₂(x,y) и с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz. Тогда тройной интеграл можно записать в виде

.               (2.2)

Отметим, что здесь внешний интеграл обязательно (!) должен иметь постоянные пределы (т.е. числа), пределы во втором интеграле могут зависеть только от той переменной, которая стоит во внешнем интеграле.

         Если в тройном интеграле подынтегральная функция f(x,y,z)º1, то тройной интеграл будет равен объему области интегрирования T, т.е.

.                                   (2.3)

         При вычислении тройных интегралов следует:

1)  сделать чертеж области интегрирования T;

2)  изобразить проекцию области T на выбранную координатную плоскость;

3)  расставить пределы интегрирования.

         Пример 2.1. Вычислить

,     если