Заряженная частица в однородной потенциальной «яме»

Теоретическая часть

Определение физических величин

Для того, чтобы описать распределение вероятности нахождения частицы в данный момент времени в некоторой точке пространства, вводят функцию , называемую волновой функцией.

Физический смысл имеет не сама функция , а квадрат ее модуля , где  - функция, комплексно сопряженная с . Величина  имеет смысл плотности вероятности, т. е. определяет вероятность пребывания частицы в данной точке пространства.

Функции , удовлетворяющие уравнению Шредингера при данном значении U (потенциальная энергия частицы в силовом поле), называются собственными функциями. Значения Е (полной энергии частиц), при которых существуют решения уравнения Шредингера, называются собственными значениями.

Уравнение Шредингера: .

Отношение квантов модулей амплитуд отраженной и падающей волн определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера и называется коэффициентом отражения.

Отношение квантов модулей амплитуд прошедшей и падающей волн определяет вероятность прохождения частицей потенциального барьера и называется коэффициентом отражения.

Основные расчетные формулы

Собственное значение энергии частицы: ,

где       n – главное квантовое число, n = 1, 2, 3…;

             – постоянная Планка, ;

            m – масса электрона, ;

            l – ширина потенциальной ямы, м.

Волновая функция:, где х – координата частицы, м.

Вероятность пребывания частицы в области (0, l): .

Среднее значение координаты частицы в области (0, l): .

Коэффициент отражения (при ): ,

            где       Е – энергия частицы, эВ.

                        U – высота потенциального барьера, эВ.

Коэффициент прозрачности (при ):,

            где       l – ширина потенциального барьера, м.

Связь между R и D:

Задание I

Исходные данные – Вариант №3: ; ; .

Электрон находится в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками и шириной l. При заданных n:

1)  построить графики собственных функций;

2)  построить графики плотности вероятности обнаружения частицы в интервале [0; l];

3)  найти собственные значения энергии частицы. Изобразить схематически в удобном масштабе энергетические уровни с указанием полученных значений энергии;

4)  найти вероятность пребывания частицы в указанной области;

5)  найти среднее значение координаты частицы в указанной области квантовой ямы.

1)  Графики собственных функций              2)  Графики плотности вероятности

 

3)  Собственные значения энергии частицы

            Энергетические уровни:

 

4)  Вероятность пребывания частицы в области

5)  Среднее значение координаты частицы в области

Анализ результатов

На каждом энергетическом уровне число полуволн соответствует значению главного квантового числа.

Плотность вероятности представляет собой квадрат (по модулю) волновой функции. Она не может иметь отрицательное значение.

Из пункта 3) можем видеть, что энергия частицы на четвертом уровне почти в два раза больше, чем на третьем.

Так как на четвертом уровне в точке  плотность вероятности равна нулю, то уменьшается вероятность нахождения частицы в области  по сравнению с третьим уровнем.

При расчете средней координаты можно было ожидать, что ее значение будет находиться в пределах . Результаты соответствуют этому. Причем на четвертом уровне средняя координата находится левее, т. к. имеется нулевая плотность вероятности в точке .

Задание II

Исходные данные – Вариант №3: ; ; .

Электрон с энергией Е проходит сквозь потенциальный барьер высотой U. Определить вероятность:

1)  прохождения частицы сквозь потенциальный барьер;

2)  отражения частицы от потенциального барьера.

1)  Вероятность прохождения частицы сквозь барьер

Т. к. , то расчитываем D:

2)  Вероятность отражения частицы от барьера

Т. к. , то

.

Анализ результатов

Так как энергия частицы меньше потенциального барьера, то вероятность ее отражения должна быть больше вероятности прохождения. Судя по найденным коэффициентам, частица скорее всего отразится.