Задачи линейного программирования, страница 3

Методом северо-западного угла ([1], стр. 109) получаем первоначальный опорный план:

полностью удовлетворяем запросы склада 1 за  счет цеха 1:        x₁₁=16 000

оставшиеся в цехе 1 изделия отправляем на склад 2:                    x₁₂=24 000

недостаток на складе 2 восполняем за счет цеха 2:                                    x₂₂=  8 000

оставщиеся 12 000 изделий в цехе 2 соответствуют

пропускной способности  склада  3:          x₂₃=12 000

таким образом, ограничения задачи удовлетворены, и план является опорным.

Теперь определим  потенциалы цехов и складов (U_i и V_j) в соответствии с требованием U_i+V_j=C_ij для каждой занятой клетки.

            Положим V₃=0. Тогда из условия U₂ + V₃ = 10 имеем U₂ = 10 - V₃ = 10 - 0 = 10.

Далее находим аналогично V₃ =  40, U₁ = -10 и, наконец, V₁ = 20.

Проверяем условие оптимальности плана: U_i+V_j<=C_ij для каждой незанятой клетки.

            U₁ + V₃ = -10  + 0 = -10 < 20

            U₂ + V₁ = 10 + 20 = 30 < 60.

Условия оптимальности удовлетворены, сдледовательно, оптимальным планом перевозок будет

x₁₁ = 16 000:                           Перевезти 16 000 изделий цеха 1 на  склад 1

            x₁₂ = 24 000:                           Перевезти 24 000 изделия цеха 1 на  склад 2

x₂₂ =   8 000:                           Перевезти   8 000 изделий цеха 2 на  склад 2

x₂₃ = 12 000:                           Перевезти 12 000 изделий цеха 2 на  склад 3

Совокупная стоимость таких перевозок равна:

min(Z)=16 000 * 30 + 24 000 * 30 + 8 000 * 50 + 12 000 * 10 =  1 720 000 (коп.)

/*-------------------------------------------------------------------------*/

М 20

Найти оптимальное сочетание посевов двух культур: пшеницы и картофеля. Эффективность возделывания названных культур (в расчете на 1 га) характеризуется следующими показателями:

	Пшеница	Картофель
Урожайность (ц/га)	20	100
Затраты труда механизаторов (человеко-дни/ц)	0,6	4,6
Затраты конно-ручного труда (человеко-дни/ц)	2,0	22,0
цена продукции (руб. за 1ц)	10	8

Производственные ресурсы: 7000 га пашни, 9 400 тракторо-смен человеко-дней и 45 000 человеко-дней конно-ручного труда. Критерий оптимальности – максимум валовой продукции.

Построить модель и подобрать метод решения.

Решение:

Математическая модель данной задачи строится следующим образом:

            Пусть x1 - это количество гектаров земли, отводимой под посев пшеницы, а x2 - под посадку картофеля.     Составим  другую таблицу, в которой все условия поставим в зависимость не от центнеров соответствующей продукции, а от гектаров занятых под  соответствующие культуры. Это нам позволит выписать формулы, непосредственно выражающие зависимости между величинами x1 и x2 такими, какими мы их ввели. Способ перехода к новой таблице достаточно прозрачен, поэтому приведем результат с минимумом пояснений:

	Пшеница	Картофель
Урожайность (ц/га)	20	100
Затраты труда механизаторов (человеко-дни/га)	0,6*20=12	460
Затраты конно-ручного труда (человеко-дни/га)	2,0*20=40,0	2200
цена продукции (руб. за продукцию с 1 га)	10*20=200	800

В таком случае имеем ограничения:

(I)  12*x1 + 460*x2 <= 9400 - мы можем использовать не более предоставленных предоставленных тракторо-смен человеко-дней. Знак < следует поставить, т.к. мы не можем  утверждать, что другие ресурсы не будут исчерпаны ранее этого.