Основные свойства определенного интеграла по отрезку. Теорема об оценке. Теорема о среднем. Теорема Барроу

Билет №1.

В дифференциальном исчислении по заданной функции приходилось отыскивать производную. Теперь рассмотрим обратную задачу. По заданной функции f(x) восстановить такую функцию F(x) производная от которой равна этой функции.

f(x)=F’(x)

Такую функцию (F(x)) принято называть первообразной.

О.1 Первообразной для функции у=f(x) на замкнутом интервале a,b называется функция у=F(x) удовлетворяющая условию:

f(x)=F’(x) для всех   интервалу a,b.

Вывод: если функция F(x) является первообразной для функции y=f(x), то и функция y=F(x) + C также первообразная для функции f(x).

Теорема о разности 2-х первообразных.

Т.1 Две первообразные данной функции могут отличаться только на слагаемую константу.

Дано: F₁’(x)=f(x), F₂’(x)=f(x), Док-ть: F₁(x)-F₂(x)=C.

Док-во: Обозначим функцию y= F₁(x)-F₂(x), y'= (F₁(x)-F₂(x))’= F’₁(x)-F’₂(x) – по определению f(x)-f(x)=0 => это может быть только в том случае когда у=С.

О.2 Совокупность всех первообразных для функции y=f(x) называется неопределенным интегралом.

 

Свойства неопределенного интеграла.

1) линейность

а) интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций.

Слева имеем совокупность первообразных для функций f(x) и . Справа имеем ту же самую совокупность. Док-ть: эти совокупности равны.

 ч.т.д.

б) постоянный множитель выносится за знак неопределенного интеграла.

  к – константа.

2) инвариантность формул интегрирования.

Формулы интегрирования не зависят от того является ли аргумент независимой переменной или функцией другого аргумента.

Билет №2.

Рассмотрим область плоскости XOY ограниченную отрезком a, b оси X, сверху графиком функции y=f(x), (f(x)>0) и прямыми x=a, a=b.

Найти площадь. Для этого разобьем отрезок a, b точками  на участки  на n частей. Криволинейная трапеция разобьется на узкие криволинейные трапеции. Подсчитаем значения функции в точке Х₄. Будем считать эту узкую криволинейную трапецию за прямоугольник с основанием  и Р_i. Тогда площадь будет равна f(P_i). Площадь будет состоять из суммы этих прямоугольников.

- интегральная сумма.

        

О.2 Таким образом если f(x)>0, то площадь криволинейной трапеции есть определенный интеграл по отрезку a, b от этой функции.

Билет №4

Основные свойства определенного интеграла по отрезку.

1) Линейность

а)

Доказательство:

б)   (док-во аналогично с предыдущим)

2) Аддитивности по отрезку

3) Интеграл от функции тождественно равной 1,  равен длине этого отрезка

4)  (вытекает из геометрического смысла)

5) (вытекает из геометрического смысла)

Билет №5

Теорема об оценке.

Т.1 Пусть значение функции в точке р отрезка a, b удовлетворяет неравенству , тогда интеграл по отрезку a, b от этой функции удовлетворяет неравенству:

Доказательство:

(по опр.)

Геометрический смысл.

Криволинейная трапеция заключена между площадями прямоугольников с основаниями Р-а и высотами M и m.

Билет №6

«Теорема о среднем»

Т.1  Пусть есть точки  тогда

 Эта величина зависит от выбора точки и от числа n, но если n будет увеличиваться, то различия между этими функциями будут исчезать. Среднее значение функции на отрезке a, b будет равно пределу:

Формулировка:

Если функция  непрерывна на замкнутом интервале a, b то найдется точка  на этом отрезке, в которой значение функции равно , т.е. .

Доказательство:

По свойству функций непрерывных на замкнутом интервале, она достигает своего наибольшего и наименьшего значения, значит мы имеем условие «теоремы об оценке»:

Разделим обе части на

т.к.

 и получаем

По свойству непрерывных функций на заданном интервале, функция приняв два значения в точках  и  обязательно примет и противоположное значение между ними, которое равно  в некоторой точке .

Геометрический смысл:

 (площади треугольника с основанием  и высотой ).

Билет №7

«Теорема Барроу» (теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом).

Пусть на [a, b] задана f(x). Рассмотрим

Геометрически заданный интервал представляет собой криволинейную трапецию с переменным основанием. Производная интеграла с переменным верхним пределом равна интегралу в точке верхнего предела.

Доказательство:

Обозначим . Дадим точке х,  приращение . Тогда функция  получит приращение .

по определению производной  - задача

(по свойству аддитивности):

т.е.

по «теореме о среднем» есть  в которой значение функции будет равно   .

Билет №23

О.1 Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х и неполную функцию у и производную искомой функции y’.

дифференциальное уравнение 1-го порядка.

Если сложная функция у есть функция одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

О.2 Порядком дифференциального уравнения называется порядок степени производных, входящих в уравнение.

О.3 Решением (интегрированием) дифференциального уравнения называется интеграл от функции которая будучи подставленной в уравнение превращает его в тождество.

Виды дифференциальных уравнений 1-го порядка:

1.  С разделяющимися переменными

2.  Однородное

3.  Линейное

4.  Уравнение Бернулли.