Разностные уравнения 1 порядка. Разностные уравнения 2 порядка

Тема: Разностные уравнения 1 порядка

Контрольные вопросы:

1.  Какая функция называется сеточной?

2.  Какое уравнение называется разностным?

3.  Какие уравнения называются разностными уравнениями 1-го порядка?

4.  Как находится общее решение неоднородного разностного уравнения 1-го порядка?

5.  Какое решение разностного уравнения называется фундаментальным?

6.  Почему общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид геометрической прогрессии?

Задания.

1.  Написать процедуру решения разностного уравнения первого порядка  с начальным условием .

2.  Для заданного уравнения найти общее и частное решение аналитически.

3.  Сравнить результаты вычислений по рекуррентной формуле с аналитическим решением.

4.  Выяснить, как влияет на результат возмущение начального условия, коэффициентов уравнения, правой части.

		А	В	Указания
1			2
2		0	2
3	1	1	2
4	n	1	2
5		3	2
6			1
7		0	1
8	1	1	1
9	n	1	1
10		3	1
11
12		0
13	1	1
14	n	1
15		3

Рекомендации к выполнению задания.

Найдем общее решение разностного уравнения 1-го порядка

                                               .                             (1)

Частное решение однородного уравнения при  получим, используя рекуррентную формулу: . Поскольку значение Y в каждом следующем узле сетки удваивается, получается геометрическая прогрессия со знаменателем q=2: 

                                                           .

Частное решение неоднородного уравнения найдем в виде:, где А - неопределенный коэффициент. Тогда ,  , и, приравняв полученное значение к заданной правой части, найдем неопределенный коэффициент A=. Окончательно, общее решение: .

Используя начальное условие , находим константу: . Окончательно, частное решение при заданном начальном условии:

                                               .

Для исследования устойчивости решения к возмущению самого решения и начального условия рассмотрим следующее уравнение:

           

с возмущенным начальным условием      

(здесь - величина возмущения). Вычитая исходное уравнение (1), получим разностное уравнение для возмущения:

           

с начальным условием . Решение этого уравнения имеет вид: , т.е. даже малое возмущение в каком-либо узле экспоненциально растет с увеличением номера узла.

Студенту необходимо проиллюстрировать сказанное выше: исследовать влияние возмущений начального условия, правых частей и коэффициентов уравнения, изменив рекуррентную формулу.

Вариант, в соответствии с номером студента по списку в журнале, необходимо решить на языке программирования C++ (допускается использование среды Builder) или Pascal (допускается использование среды Delphi).

Содержание отчета должно быть следующим:

1. Постановка задачи. Исходное разностное уравнение и граничные условия.
2. Рекуррентная формула для получения численного решения.
3. Аналитическое решение разностного уравнения. Общее решение и частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
4. Графики численного решения и аналитического решения (в одних осях).
5. График разности численного и аналитического решения.
6. Исследовать устойчивость решения к возмущению начального условия и решения аналитически.
7. Графики возмущенных численных решений и разности возмущенного и невозмущенного решений:

а) при возмущении начального условия;

б) при возмущении коэффициентов уравнения;

в) при возмущении правой части.

Тема :Разностные уравнения 2 порядка

Контрольные вопросы:

1.  Какие уравнения называются разностными уравнениями 2-го порядка?

2.  Что такое характеристическое уравнение?

3.  Как выглядит частное решение однородного разностного уравнения 2-го порядка с действительными корнями характеристического уравнения?

4.  Как выглядит частное решение однородного разностного уравнения 2-го порядка с комплексными корнями характеристического уравнения?

5.  Как находится общее решение неоднородного разностного уравнения 2-го порядка?

6.  Что такое численное и аналитическое решение разностного уравнения 2-го порядка?

7.  Какие задачи называются хорошо обусловленными?

Задания

1.  Написать процедуру решения разностной краевой задачи для уравнения второго порядка  с граничными условиями , .

2.  Для заданного уравнения найти общее и частное решение аналитически и проверить критерий обусловленности.

3.  Сравнить результаты вычислений по рекуррентной формуле с аналитическим решением.

4.  Выяснить, как влияет на результат возмущение граничных условий и правой части.

№		А	В	a	b	c
1			2	1	-2	1
2		0	2	2	4	1
3	1	1	2	1	3	1
4	n	1	2	5	-26	5
5		3	2	2	5	2
6			1	2	5	2
7		0	1	5	-26	5
8	1	1	1	2	5	2
9	n	1	1	1	3	1
10		3	1	1	3	1
11				2	4	1
12		0		1	-2	1
13	1	1		2	5	2
14	n	1		2	5	2
15		3		1	3	1

Рекомендации к выполнению задания

Найдем общее решение разностного уравнения 2-го порядка

                                               .                           (1)

Запишем характеристическое уравнение:

                                               .

Поскольку корни   совпали, то частные решения однородного уравнения имеют вид (8), (9):

                                                           ,.              

Частное решение неоднородного уравнения найдем в виде: , где А - неопределенный коэффициент. Подставив это выражение в исходное уравнение, получим:

                                    ,

откуда ,  , и окончательно, общее решение:

                                                .

Теперь любое частное решение при заданных начальных условиях  можно найти выбором произвольных постоянных .

Наряду с задачами Коши, для уравнений 2-го порядка рассматриваются также двухточечные краевые задачи, в которых заданы значения сеточной функции в двух узлах, расположенных не подряд, а на концах некоторого конечного отрезка:  (граничные условия). Аналитическое решение такой задачи можно получить подходящим выбором произвольных постоянных в общем решении. Однако, в отличие от задачи с начальными условиями, краевая задача не обязательно будет однозначно разрешимой. Поэтому большое значение имеет выяснение класса краевых задач, которые обладают однозначной разрешимостью и слабой чувствительностью к возмущению (вследствие ошибок округления) правых частей и граничных условий. Такие задачи будем называть хорошо обусловленными

Рассмотрим пример плохо обусловленной краевой задачи

                        ,  (2)

и придадим правым частям малые приращения:

                                    .                                            

Тогда решение получит приращение, определяемое из вспомогательной краевой задачи

                        , .                         (3)            Решение задачи (3) несложно получить аналитически:

                                   

В частности, при n=N-1 имеем: , т.е. возмущение решения быстро растет с увеличением числа узлов N. Оценка хорошей обусловленности задачи, которая рассматривается в курсе лекций, не выполняется (проверьте!).

Один вариант, в соответствии с заданием, полученным от преподавателя, необходимо решить на языке программирования C++ (допускается использование среды Builder) или Pascal (допускается использование среды Delphi).

Содержание отчета должно выглядеть следующим образом:

1. Постановка задачи. Исходное разностное уравнение и граничные условия.
2. Процедура для получения численного решения.
3. Аналитическое решение разностной краевой задачи. Общее решение и частное решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям. Проверка критерия обусловленности.
4. Графики численного решения и аналитического решения (в одних осях).
5. График разности численного и аналитического решения.
6. Графики возмущенных численных решений и разности возмущенного и невозмущенного решений:

а) при возмущении начального условия;

б) при возмущении правой части.

7. Вывод об обусловленности краевой задачи.