Скалярное произведение. Определение. Неравенство Коши-Буняковского. Норма вектора и угол между векторами. Метрика линейного пространства

Студент не посудина, которую надо заполнить, а факел, который надо зажечь.

Скалярное произведение

1.  Определение

   Скалярное произведение – это функционал типа , т. е. любым векторам  ставится в соответствие пара . (Аргументы – это векторы, значение – число.)

 – функция,  – преобразование, – функционал

При этом выполняются аксиомы:

1.   – симметрия (коммутативность),

2.   –однородность. В силу симметрии .

3.   – аддитивность. Следовательно, , т. к. .

4.   и  – неотрицательность.

Рассмотрим примеры скалярных произведений в различных пространствах.

·  Скалярное произведение в арифметическом пространстве .

Определим скалярное произведение следующим образом: .

Очевидно, что все свойства скалярного произведения выполнены.

Замечание. Можно ввести скалярное произведение следующим образом , где . Какими свойствами должна обладать матрица ?

·  Скалярное произведение в геометрическом пространстве .

Определим скалярное произведение , но если только знаем длину, и какой угол. Что такое длина?

3 свойство выполнено или нет – это большой вопрос.

, следовательно, .

Т. к. проекция суммы есть сумма проекций:

, то перед нами скалярное произведение.

·  Скалярное произведение в пространстве функций .

Определим . Аксиомы выполнены по свойствам интеграла, а значит, перед нами скалярное произведение.

2.  Неравенство Коши – Буняковского

Рассмотрим скалярное произведение  в силу 4 свойства. Раскроем скобки, используя свойства аддитивности и однородности:  – квадратный трехчлен относительно , который неотрицателен для , следовательно, .  

или  – неравенство Коши – Буняковского, которое еще записывается в виде: .

Неравенство выполняется в любом линейном пространстве, т. к. выводится только из свойств скалярного произведения. Знак равенства в том случае, если  или  равны , или  ( и  одного направления).

Рассмотрим, какой вид примет данное неравенство в конкретных линейных пространствах.

·  В арифметическом пространстве .

 – неравенство Коши.

·  В пространстве функций .

 – неравенство Буняковского (Шварца).

Этими неравенствами будем пользоваться и отдельно доказывать не будем, т. к. мы доказали его для любого линейного пространства.

В некоторых учебниках можно найти вывод этих неравенств отдельно для каждого пространства.

3.  Норма вектора и угол между векторами

Норма элемента , обозначается , – это функционал типа , который удовлетворяет свойствам:

1.  ,  – неотрицательность,

2.   – однородность,

3.   – неравенство Минковского (треугольника).

Определим пока норму элемента следующим образом: . Очевидно, что свойства 1 и 2 выполняются. Проверим выполнение неравенства треугольника. По определению

 (второе слагаемое неположительное по неравенству Коши – Буняковского).

Норму ассоциируют как длину.

   Линейное пространство со скалярным произведением называют Евклидовым. Если определена норма, то нормированным.

Замечание. Норму можно ввести и другими способами, главное, чтобы она удовлетворяла свойствам нормы. Если норма появилась как следствие скалярного произведения, то норма называется евклидовой.

Упражнение. Докажите, что норма евклидова  . Каким скалярным произведением она порождается?

       Если мы определим норму как , то неравенство Коши – Буняковского примет вид: .

   Определим угол между векторами  следующим образом .

       Определение корректно, т. к. в силу неравенства Коши – Буняковского: , то  – косинус некоторого угла.

       Тогда .

Примеры.

·  : , . .

Вычислим угол: , , тогда .

Если система координат декартова (единичные векторы обозначаем как ):

, то

Если система координат криволинейна?

То , тогда , где  – некоторая матрица.

·  .

, . Найдем нормы: , . , тогда угол между функциями: .

4.  Ортогональность

   Элементы  ортогональны, если .

       Т. к. , то из определения следует что, либо , либо , либо .

Примеры.

·  . , .

, следовательно .

Вставить рисунок

·  Типовая задача 1. Вычислить все элементы , ортогональные .

 . Обозначим . По определению .  – однородная система ранга 1.

.

Т. о. .  Геометрический образ – это плоскость.

5.  Типовые задачи

·  Типовая задача 2. Нормировать элемент линейного пространства.

Т. е. представить его в виде , где  – единичный вектор (орт), того же направления, что и . Вычислим норму элемента : (т. к. )., т. е. .

Значит, .

Пример.  , . Следовательно, .

·  Типовая задача 3. Вычислить угол между элементами .

. Т. е. угол – это разница между направлениями и от длин не зависит (как в геометрическом пространстве).

·  Типовая задача 4. Вычислить длину проекции элемента  на направление .

 – проекция  на . Вектор  – расстояние от вектора  до . Тогда

 – коэффициенты Фурье.

·  Типовая задача 5. Вычислить проекцию элемента  на направление .

 – проекция элемента  на направление . Тогда   расстояние от вектора  до .

Замечание. Проекция – это вектор, длина проекции – это число.

6.  Метрика линейного пространства

Пусть  – линейное пространство. Всякое линейное пространство можно задать как линейную оболочку некоторой линейно независимой системы : , тогда любой элемент линейного пространства можно представить линейной комбинацией векторов . Пусть , .

Найдем скалярное произведение:

(раскроем, используя свойства)

 – общий случай скалярного произведения.

– называется матрицей Грама.

 – это арифметический объект. Он и называется тензором скалярного произведения или метрическим тензором.

В тензорном виде: .

·  Типовая задача 6. Вычислить скалярное произведение.

       .

Если , то , тогда .

Если , то элементы  и  ортогональны.

Пример.

       В  дан метрический тензор . Вычислить скалярное произведение векторов  и

1) в системе , 2) в системе .

1). .

2). , следовательно .

       Зачем нужен базис? Чтобы сопоставить векторам их координаты, т. е. арифметику (мы умеем работать с числами). Вводя матрицу , мы навязываем арифметическому пространству геометрию.

Пример. Дан базис в геометрическом пространстве:

Найти метрический тензор.

В геометрическом пространстве длину угол можем замерить, если вооружимся линейкой и транспортиром, тогда

– разложение метрического тензора на нормы и углы.