Математика \ Математическое моделирование и оптимизация процессов

Математическое моделирование и оптимизация. Этапы построения математической модели. Методы оптимизации, страница 4

Если модель неадекватна, приходится возвращаться к третьему, а иногда и ко второму этапу моделирования, т.е. менять структуру модели или составляющих факторов, влияющих на выходной параметр.

Если модель адекватна, переходят к 6 этапу.

6 этап Использование модели по назначению и исследование объекта

С помощью модели можно спрогнозировать, что будет дальше.

Методы оптимизации

Оптимизация – это процесс улучшения показателей работы объекта. К таким показателям относятся:

− производительность;

− себестоимость продукции;

− показатели качества.

Задача оптимизации относится к экстремальным задачам и может быть решена двумя способами:

1. с использованием расчетных (или аналитических) методов,

2. с использованием поисковых методов.

Оптимизация бывает одномерная и многомерная. В первом случае на показатель работы оптимизируемого объекта влияет один параметр, во втором – 2 и более.

Оптимизация может осуществляться непосредственно на объекте (прямая оптимизация) и на моделе этого объекта.

Оптимизация бывает условная и безусловная. В первом случае имеются ограничения на параметры оптимизации, во втором – их нет.

Рассмотрим методы оптимизации:

1. Беспоисковый (или аналитический) основан на исследовании производных.

На отрезке необходимо определить экстремум функции. Задачей является определение, например, минимума функции на отрезке .

Решением задачи оптимизации является координата , значение функции при условии, что функция в этой точке меньше всех других значений функции .

Производят следующие действия:

1. Берется первая производная и приравнивается к нулю , следовательно, мы найдем .

2. Чтобы найти непосредственно минимумы, берем вторую производную и определяем ее знак:

− если , то ;

− если, то .

Отсюда находим, что - минимумы.

3. Рассчитываем значения функции в этих координатах , и сравниваем их . Таким образом, и - решения задачи оптимизации.

Параметр объекта, который улучшается, называется критерием оптимизации. То есть функция - это математическая модель объекта и в то же время эта зависимость выходного параметра от входного является математическим выражением критериев оптимизации.

2. Поисковый метод

Все поисковые методы решают задачу оптимизации в два этапа.

1 этап – определение границ исходного интервала неопределенности. Интервалом неопределенности называют интервал между координатами на оси , на котором находится искомый оптимум. Эта процедура поиска исходного интервала неопределенности сводится к редкому исследованию функции (т.е. через большие промежутки).

2 этап заключается в последующем уменьшении исходного интервала неопределенности до заранее известной величины (точность метода) при условии, что оптимум находится на уменьшаемом интервале неопределенности.

И решением задачи оптимизации в этом случае является координата конечного интервала неопределенности и значения функций в этих координатах.

Рассмотрим примеры методов поисковой оптимизации:

а) Метод сканирования

Имеется исходный интервал , точность метода - .

Через равные промежутки производится исследование интервала.

Суть метода – исследуется функция на отрезке через равные расстояния , т. е. производится расчет значений функции в этих точках (координатах). Затем, значений функции сравниваются и определяется минимальное значение.