Математика \ Математическое моделирование и оптимизация процессов

Математическое моделирование и оптимизация. Этапы построения математической модели. Методы оптимизации, страница 3

Тогда, таблица наблюдений получается следующая:

№ серии	№ опыта
1	1
	2
	Ср
2	1
	2
	Ср
	n

3 Аналог спланированного эксперимента

объединяет положительные стороны активного и пассивного экспериментов.

Сначала составляется план активного эксперимента, затем из большого числа данных пассивного эксперимента выбираются опыты, соответствующие опытам в плане активного эксперимента, и результаты вносятся в матрицу планирования.

Обработка результатов эксперимента проводится как в активном эксперименте.

4 Получение таблицы наблюдений с помощью экспертных оценок

Эксперты подбираются из технологического персонала, обслуживающего исследуемый объект, имеющие большой стаж работы и хорошие производственные показатели.

3 этап Синтез структуры модели

Структура модели – это вид математической зависимости выходного параметра от входного.

Этот вид уравнения определяется свойствами объекта (например, линейный, гиперболический, параболический и т.д.).

Свойства объекта исследователь определяет при сборе теоретической информации. Это творческий субъективный процесс (синтез).

На примере активного спланированного эксперимента можно предложить следующую структуру модели:

4 этап Идентификация объекта (настройка коэффициентов модели)

Осуществляется двумя способами:

1. Расчетный (аналитический)

2. Поисковый способ

Расчетный способ использует различный варианты метода наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов (МНК)

- условие минимизации уравнения

После дифференцирования получается система двух уравнений

Однако, МНК позволяет получить точное несмещенные оценки коэффициентов только при выполнении некоторых предпосылок, важнейшими из которых является:

1. Входные величины и т.д. должны измеряться с точностью, как минимум на порядок превышающей точность измерения выходного параметра.

2. Входные параметры и т.д. не должны быть коррелированны, т.е. статистически связаны между собой.

3. Выходной параметр должен быть случайной величиной, подчиняющейся нормальному закону распределения

4. Рассеяние (Дисперсия) выходного параметра не должна зависеть от его абсолютной величины.

1 и 2 – практически не выполняются на реальных объектах.

Выполнение вышеперечисленных предпосылок может обеспечить только при активном эксперименте, когда матрица планирования составляется с учетом выполнения этих предпосылок.

Применение МНК в пассивном эксперименте не дает гарантии получения точных коэффициентов модели.

Поисковый способ настройки коэффициентов модели («Метод подстраиваемой модели»)

5 этап Статистическая обработка результатов и оценка адекватности модели

Наиболее распространенные статистические вычисления:

− среднее арифметическое значение;

− дисперсия;

− среднее квадратическое отклонение;

− корреляция;

− математическое ожидание;

− ошибка коэффициента корреляции.

Математическое ожидание случайной величины

, где - возможное значение случайной величины,

- вероятность этого значения.

-математическое среднее.

Дисперсия

Средне квадратическое отклонение (СКО)

Коэффициент корреляции между двумя случайными величинами характеризует степень линейной связи между случайными величинами

Статистическая обработка результатов эксперимента:

1. Проверка воспроизводимости опыта

G – критерий Кохрена

где - максимальное значение построчной дисперсии;

- номер строки;

- номер повторения опыта;

- количество повторений.

Если , то опыты воспроизводимы.

Табличные значения критерия Кохрена выбираются из статистических таблиц в зависимости от количества опытов (), числа степеней свободы и уровня значимости (надежности) P=0,95.