Анализ свойств временного ряда (Первичный анализ временного ряда. Вторичный анализ стохастической составляющей)

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Курсовой расчет

по курсу

«Анализ стохастических процессов»

Москва, 2007 г.
Задание на работу

Провести анализ свойств временного ряда, сохраненного в файле *.gnt. Анализ должен содержать следующие виды исследования:

1.  Первичный анализ временного ряда:

1.1.  анализ выделяющихся наблюдений,

1.2.  анализ стационарности временного ряда,

1.3.  анализ наличия тренда и его выделение (если тренд обнаружен),

1.4.  анализ наличия колебательной составляющей временного ряда и ее параметров,

1.5.  выделение фрагмента ряда в виде стационарной случайной компоненты.

2.  Вторичный анализ стохастической составляющей:

2.1.  анализ основных статистических характеристик временного ряда,

2.2.  анализ вида распределения отсчетов временного ряда,

2.3.  непараметрический анализ корреляционных свойств временного ряда,

2.4.  непараметрический анализ спектральных свойств временного ряда,

2.5.  расчет линейной стационарной стохастической модели временного ряда, включающий оценивание порядка и параметров модели, включающий анализ типа модели, порядка модели и оценивание параметров модели,

2.6.  расчет линейной нестационарной стохастической модели (АРПСС) временного ряда, если это возможно,

2.7.  расчет  параметрических оценок корреляционной функции и спектральной плотности мощности,

2.8.  сравнение результатов параметрического и непараметрического оценивания корреляционной функции и спектральной плотности мощности.

Результаты анализа по каждому пункту задания должны быть оформлены  в виде таблиц,  графиков и содержательных обоснованных выводов о свойствах сигнала, представленного заданным временным рядом.

Исходные данные

Файл с исходными данными – THIK1.gnt.

Первичный анализ временного ряда.

Анализ выделяющихся наблюдений

С целью выявления аномальных наблюдений в исследуемом временном ряде необходимо провести визуальный анализ наблюдений. График временного ряда имеет вид:

Т.о. в исследуемом ряде присутствуют аномальные наблюдения, влияние которых на дальнейший анализ необходимо устранить. Одним из возможных подходов является удаление аномальных наблюдений. График временного ряда после удаления аномальных наблюдений принимает вид:

Можно считать, что наблюдения в полученном ряде не являются аномальными.

Анализ стационарности временного ряда.

Визуальный анализ ряда наблюдений позволяет выявить повторяющиеся участки ряда. Это объясняется наличием сезонной компоненты в составе ряда.

Анализ сглаженной по методу простого скользящего среднего реализации позволяет подтвердить сделанный вывод:

Для дополнительного анализ ряда на стационарность можно воспользоваться предварительными оценками АКФ и СПМ:

Незатухающая автокорреляционная функция свидетельствует о нестационарности ряда. Наличие сезонной составляющей подтверждается колебательным характером АКФ и наличием пика в оценке СПМ. Анализируя полученные оценки, можно сделать вывод о том, что период сезонности равен 506 интервалам дискретизации.

Анализ наличия тренда и его выделение.

Основываясь на результатах, полученных в предыдущем пункте, можно сделать вывод об отсутствии тренда как низкочастотной составляющей, наличие которой в исследуемом ряде наблюдений привело бы к дополнительной коррелированности, чего не наблюдается. Однако наблюдается наличие сезонной компоненты, ведущей к нестационарности ряда.

В качестве дополнительного анализа можно привести результаты тестов на случайность, примененных к исследуемому ряду:

                        Медианный Тест

  Переменная   Кол-во Серий    P-Значение    Длина Серий      P-Значение

thik1.var1         188             0              9          0.8673459225   

                      Up & Down  Тест

  Переменная   Кол-во Серий    P-Значение    Длина Серий      P-Значение

thik1.var1         378             0              9          0.00253968254

Данные обоих тестов подтверждают сделанный вывод об отсутствии линейного тренда в исследуемом ряде и наличии сезонного.

Исключить из анализа сезонную компоненту можно взятием сезонных разностей 1 порядка с периодом сезонности 506. Ряд после указанной обработки имеет вид:

Исходя из полученных результатов, можно сделать вывод о том, что наблюдения практически полностью повторяются (за исключением нескольких точек) с периодом сезонности. Эта особенность позволяет перейти к анализу части ряда на одном периоде для исключения сезонной составляющей.

Анализ наличия колебательной составляющей временного ряда и ее параметров.

Основываясь на графиках предварительной оценки АКФ и СПМ можно сделать вывод о наличии колебательной составляющей в исследуемом ряде. Колебательная составляющая имеет одну гармонику с частотой 0.085 от частоты дискретизации.

Выделение фрагмента ряда в виде стационарной случайной компоненты.

Для выделения фрагмента ряда в виде стационарной случайной компоненты необходимо исключить из исследования обнаруженную колебательную составляющую. Одним из возможных подходов является применение полоснозаграждающего фильтра. АЧХ применяемого фильтра имеет следующий вид:

После фильтрации оценка спектра временного ряда в виде простой периодограммы принимает вид:

Анализируя полученные результаты, можно констатировать удаление колебательной составляющей.

Вторичный анализ стохастической составляющей.

Анализ основных статистических характеристик временного ряда.

Основные статистические характеристики исследуемого ряда сведены в таблицу:

Анализ вида распределения отсчетов временного ряда.

Для анализа вида распределения отсчетов можно воспользоваться критериями проверки гипотезы о виде распределения:

Критерий Хи-Квадрат Пирсона          Критерий Колмогорова-Смирнова  

  Распределение         Р-Значение        Распределение         Р-Значение 

Нормальное (A,B)      0.001185329495    Нормальное (A,B)      0.4349194334   

Лапласа (A)                 0           Гамма  (A,B)          0.3421510587