Элементы линейной цепи гармонического тока: источники, резистор, индуктивность и взаимной индуктивность, ёмкость

L. 330. «Электротехника»                                                                                   Аксютин В.А.

Элементы линейной цепи гармонического тока: источники, резистор, индуктивность и взаимной индуктивность, ёмкость

1.  Источники ЭДС и тока

На рис. 1а и 1в приведены схемы замещения идеальных источников ЭДС и тока, у которых внутренние сопротивления источника ЭДС равно нулю, а источника тока – бесконечности.

 

а                                                     б                                                                       в

Рис. 1

 

а                                                     б                                                                       в

Рис. 2

Рассмотрим представление в комплексном виде синусоидальных источников ЭДС и тока:

E_m sin (ω t+j_e) = Im{E_m е^jje е^jωt} = Im{е^jωt};

I_km sin (ω t+j_ik) = Im{I_km е^jjik е^jωt} = Im{е^jωt};

Введём обозначения:

 = E_m e^jje  и = I_km е^jjik – комплексные амплитуды ЭДС и тока,

 =  = e^jje  ,  =  = e^jjik  - комплексы действующих значений ЭДС и тока.

Для расчёта установившихся режимов цепи с синусоидальными источниками применяются схемы замещения цепи в комплексном виде, где каждый элемент имеет своё обозначение и параметры. Обозначения источников ЭДС и тока в комплексном виде приведено на рис 1б и 1г.

Полученные соотношения позволяют построить ВД: рис. 1,в для источника ЭДС; рис. 2.в для источника тока.

2. Резистивный элемент R (рис. 3)

Пусть в резисторе задано мгновенное значение тока 

i (t) = I_m sin (wt+j_i) = Im{I_m е^jji е^jωt} = Im{е^jωt},

где  = I_m е^jji – комплекс амплитудного значения тока,

 =  = I е^jji – комплекс действующего значения тока.

			ð

 

а                                                   б                                                                 в

Рис. 3

Связь между током и напряжением в любой момент времени на резисторе подчиняется закону Ома. Природа сопротивления R протеканию электрического тока такова, что оно не вызывает сдвига по фазе между током и напряжением. Поэтому:

u_R(t) = R I_m sin (wt+j_i) = U_Rm sin (wt+j_i) = Im{U_Rm е^jji е^jωt} = Im{е^jωt};

 = U_Rm е^jji – комплекс амплитудного значения напряжения на резисторе.

 =  =  е^jji = U_R е^jji= R I е^jji= R  – комплекс действующего значения напряжения на резисторе, т. е.  = R .

Обозначения резистора на схеме замещения и соотношение между комплексами действующих значений тока и напряжения  на резисторе приведено на рис 3б. Векторная диаграмма для полученных соотношений приведена на рис. 3.в.

2.  Индуктивный элемент L(рис. 4)

Как было рассмотрено ранее (см. раздел l 120), индуктивность обладает свойством накапливать энергию в своём магнитном поле. В индуктивности возникает ЭДС самоиндукции, которая задерживает изменение тока, связанного с запасаемой в катушке энергией. В таком случае напряжение  u_L(t) определяется по закону электромагнитной индукции:

 

а                                                   б                                                                 в

Рис. 4

Пусть в резисторе задано мгновенное значение тока:

i (t) = I_m sin (wt+j_i) = Im{I_m е^jji е^jωt} = Im{е^jωt}.

u_L = L  = L  [ I_m sin(wt+y_i)] = x_L I _msin(wt+y_i + 90^o) =

= Im{I_m x_Lе^jji е^+j90 е^jωt }= Im{U_Lm е^jji j е^jωt} = Im{е^jωt};

Здесь  е^±j90 = ± j; x_L = wL [Ом] индуктивное (реактивное)сопротивление синусоидальному переменному току;

 = jx_LI_m е^jji  = j U_Lm е^jji = jx_L  – комплекс амплитудного значения напряжения на индуктивности;

 =  = jx_L е^jji = jU_L е^jji= jx_L I е^jji= jx_L  – комплекс действующего значения напряжения на индуктивности, т. е.

 = jx_L  и  = jx_L .

Отметим, что закон Ома, несправедливый для мгновенных значений, выполняется для действующих значений и амплитуд: U_L = x_L I_L, U_Lm = x_L I_Lm.

Из полученных соотношений видно, что по фазе напряжение на индуктивности опережает ток на +90^о: y_u= y_i + 90^o.

Обозначения индуктивного сопротивления на схеме замещения и соотношение между комплексами действующих значений тока и напряжения  на индуктивности приведено на рис 4б. Векторная диаграмма для полученных соотношений приведена на рис. 4.в.

3.  Взаимная индуктивность (рис. 5,а)

Пусть в идеальном трансформаторе (рис. 5,а) установившийся режим синусоидального тока. Токи в катушках:

i₁(t) = I_m1 sin(ω t + φ₁)               и                i₂(t) = I_m2 sin(ω t + φ₂).

			ð

 

а                                                                           б

Рис. 5

Напряжения на зажимах первой и второй катушек (см. раздел l 120):

u₁ = L₁±M = x_L1 I_m1 sin(wt+j₁+90^o) ± x_M I_m2 sin(wt+j₂+90^o) =

Im{I_1m x_L1е^jj1 е^+j90 е^jωt}± Im{I_2M x_Mе^jj2 е^+j90 е^jωt} =

Im{(j x _L1  ± j x_M ) е^jωt} = Im{( ± ) е^jωt}

u₂=L₂±M=x_L2 I_m2 sin(wt+j₂+90^o) ± x_M I_m1 sin(wt+j₁+90^o) =

Im{I_2m x_L2е^jj2 е^+j90 е^jωt} ± Im{I_1M x_Mе^jj1 е^+j90 е^jωt} =

Im{(j x _L2  ± j x_M  ) е^jωt} = Im{( ± ) е^jωt}

где: x_L1 = ωL₁, x_L2 = ωL₂ и x_M = ωM - индуктивные сопротивления, катушек L₁ и L₂ и сопротивление взаимной индуктивности между катушками, размерность  Ом.

 =  ±  = j x _L1  ± j x_M  и  =  ±  = j x _L2  ± j x_M  – комплексы амплитудного значения напряжений на зажимах первой и второй индуктивностях;

 =  =  j x _L1  ± j x_M  и  =  =  j x _L21  ± j x_M   – комплексы действующих значения напряжений на зажимах первой и второй индуктивностях

 

Рис. 6

Схема замещения идеального воздушного трансформатора в комплексном виде  и соотношение между комплексами действующих значений тока и напряжения  на его зажимах приведено на рис 5 б. Векторная диаграмма для полученных соотношений приведена на рис. 6.

4.  Ёмкостный элемент C (рис. 7,а)

 

а                                                   б                                                                 в

Рис. 7

Как было рассмотрено ранее (см. раздел l 120), ёмкость обладает свойством накапливать электрические заряды и, следовательно, запасать энергию в электрическом поле. Пусть к ёмкости подключён источник синусоидального напряжения:

u_С(t) =U_Cm sin(wt+ φ _u).

Выражение для тока найдём как изменение заряда ёмкости во времени. Будем считать напряжение заданным:

i(t)=  = C  = C wU_Cm cos(wt+ φ_u) =  U_Cm sin(wt+ φ_u + 90^o) =

I_m sin(wt+φ_i) = Im{U_Cm е^jju е^+j90 е^jωt }= Im{I_m е^jji j е^jωt} = Im{е^jωt};

Здесь:  е^+j90 = + j;   1/j = -j;

x_С = 1/wC [Ом] ёмкостное (реактивное)сопротивление синусоидальному переменному току;

 = U_m е^jju  =  =  е^jji = I_m е^jji – комплекс амплитудного значения тока на ёмкости;

 =  =  – комплекс действующего значения тока через ёмкость.

Интерес представляет выражения для комплексных амплитуд и действующих напряжений на ёмкости:

 = −j x_С и  = − j x_С .

Отметим, что закон Ома, несправедливый для мгновенных значений, выполняется для действующих значений и амплитуд: U_С = x_С I, U_Сm = x_С I_m.

Из полученных соотношений видно, что ток через ёмкость опережает напряжение по фазе на угол +90^о: φ_i= φ_u + 90^o.

Обозначения ёмкостного сопротивления на схеме замещения и соотношение между комплексами действующих значений тока и напряжения  на ёмкости приведено на рис 7б. Векторная диаграмма для полученных соотношений приведена на рис. 7.в.