Элементы линейной цепи гармонического тока: источники, резистор, индуктивность и взаимной индуктивность, ёмкость

Страницы работы

6 страниц (Word-файл)

Содержание работы

L. 330. «Электротехника»                                                                                   Аксютин В.А.

Элементы линейной цепи гармонического тока: источники, резистор, индуктивность и взаимной индуктивность, ёмкость

1.  Источники ЭДС и тока

На рис. 1а и 1в приведены схемы замещения идеальных источников ЭДС и тока, у которых внутренние сопротивления источника ЭДС равно нулю, а источника тока – бесконечности.

 


а                                                     б                                                                       в

Рис. 1

Подпись:
 


а                                                     б                                                                       в

Рис. 2

Рассмотрим представление в комплексном виде синусоидальных источников ЭДС и тока:

Em sin (ω t+je) = Im{Em еjje еjωt} = Im{еjωt};

Ikm sin (ω t+jik) = Im{Ikm еjjik еjωt} = Im{еjωt};

Введём обозначения:

 = Em ejje  и = Ikm еjjik – комплексные амплитуды ЭДС и тока,

 =  = ejje  ,  =  = ejjik  - комплексы действующих значений ЭДС и тока.

Для расчёта установившихся режимов цепи с синусоидальными источниками применяются схемы замещения цепи в комплексном виде, где каждый элемент имеет своё обозначение и параметры. Обозначения источников ЭДС и тока в комплексном виде приведено на рис 1б и 1г.

Полученные соотношения позволяют построить ВД: рис. 1,в для источника ЭДС; рис. 2.в для источника тока.

2. Резистивный элемент R (рис. 3)

Пусть в резисторе задано мгновенное значение тока 

i (t) = Im sin (wt+ji) = Im{Im еjji еjωt} = Im{еjωt},

где  = Im еjji – комплекс амплитудного значения тока,

 =  = I еjji – комплекс действующего значения тока.

ð

 
 


а                                                   б                                                                 в

Рис. 3

Связь между током и напряжением в любой момент времени на резисторе подчиняется закону Ома. Природа сопротивления R протеканию электрического тока такова, что оно не вызывает сдвига по фазе между током и напряжением. Поэтому:

uR(t) = R Im sin (wt+ji) = URm sin (wt+ji) = Im{URm еjji еjωt} = Im{еjωt};

 = URm еjji – комплекс амплитудного значения напряжения на резисторе.

 =  =  еjji = UR еjji= R I еjji= R  – комплекс действующего значения напряжения на резисторе, т. е.  = R .

Обозначения резистора на схеме замещения и соотношение между комплексами действующих значений тока и напряжения  на резисторе приведено на рис 3б. Векторная диаграмма для полученных соотношений приведена на рис. 3.в.

2.  Индуктивный элемент L(рис. 4)

Как было рассмотрено ранее (см. раздел l 120), индуктивность обладает свойством накапливать энергию в своём магнитном поле. В индуктивности возникает ЭДС самоиндукции, которая задерживает изменение тока, связанного с запасаемой в катушке энергией. В таком случае напряжение  uL(t) определяется по закону электромагнитной индукции:

 


а                                                   б                                                                 в

Рис. 4

Пусть в резисторе задано мгновенное значение тока:

i (t) = Im sin (wt+ji) = Im{Im еjji еjωt} = Im{еjωt}.

uL = L  = L  [ Im sin(wt+yi)] = xL I msin(wt+yi + 90o) =

= Im{Im xLеjji е+j90 еjωt }= Im{ULm еjji j еjωt} = Im{еjωt};

Здесь  е±j90 = ± j; xL = wL [Ом] индуктивное (реактивное)сопротивление синусоидальному переменному току;

 = jxLIm еjji  = j ULm еjji = jxL  – комплекс амплитудного значения напряжения на индуктивности;

 =  = jxL еjji = jUL еjji= jxL I еjji= jxL  – комплекс действующего значения напряжения на индуктивности, т. е.

 = jxL  и  = jxL .

Отметим, что закон Ома, несправедливый для мгновенных значений, выполняется для действующих значений и амплитуд: UL = xL IL, ULm = xL ILm.

Из полученных соотношений видно, что по фазе напряжение на индуктивности опережает ток на +90о: yu= yi + 90o.

Обозначения индуктивного сопротивления на схеме замещения и соотношение между комплексами действующих значений тока и напряжения  на индуктивности приведено на рис 4б. Векторная диаграмма для полученных соотношений приведена на рис. 4.в.

3.  Взаимная индуктивность (рис. 5,а)

Пусть в идеальном трансформаторе (рис. 5,а) установившийся режим синусоидального тока. Токи в катушках:

i1(t) = Im1 sin(ω t + φ1)               и                i2(t) = Im2 sin(ω t + φ2).

ð

 

 

 
 


а                                                                           б

Рис. 5

Напряжения на зажимах первой и второй катушек (см. раздел l 120):

u1 = L1±M = xL1 Im1 sin(wt+j1+90o) ± xM Im2 sin(wt+j2+90o) =

Im{I1m xL1еjj1 е+j90 еjωt}± Im{I2M xMеjj2 е+j90 еjωt} =

Im{(j x L1  ± j xM ) еjωt} = Im{( ± ) еjωt}

u2=L2±M=xL2 Im2 sin(wt+j2+90o) ± xM Im1 sin(wt+j1+90o) =

Im{I2m xL2еjj2 е+j90 еjωt} ± Im{I1M xMеjj1 е+j90 еjωt} =

Im{(j x L2  ± j x) еjωt} = Im{( ± ) еjωt}

где: xL1 = ωL1, xL2 = ωL2 и xM = ωM - индуктивные сопротивления, катушек L1 и L2 и сопротивление взаимной индуктивности между катушками, размерность  Ом.

 =  ±  = j x L1  ± j xM  и  =  ±  = j x L2  ± j xM  – комплексы амплитудного значения напряжений на зажимах первой и второй индуктивностях;

 =  =  j x L1  ± j xM  и  =  =  j x L21  ± j xM   – комплексы действующих значения напряжений на зажимах первой и второй индуктивностях

 


Рис. 6

Схема замещения идеального воздушного трансформатора в комплексном виде  и соотношение между комплексами действующих значений тока и напряжения  на его зажимах приведено на рис 5 б. Векторная диаграмма для полученных соотношений приведена на рис. 6.

4.  Ёмкостный элемент C (рис. 7,а)

 


а                                                   б                                                                 в

Рис. 7

Как было рассмотрено ранее (см. раздел l 120), ёмкость обладает свойством накапливать электрические заряды и, следовательно, запасать энергию в электрическом поле. Пусть к ёмкости подключён источник синусоидального напряжения:

uС(t) =UCm sin(wt+ φ u).

Выражение для тока найдём как изменение заряда ёмкости во времени. Будем считать напряжение заданным:

i(t)=  = C  = C wUCm cos(wt+ φu) =  UCm sin(wt+ φu + 90o) =

Im sin(wt+φi) = Im{UCm еjju е+j90 еjωt }= Im{Im еjji j еjωt} = Im{еjωt};

Здесь:  е+j90 = + j;   1/j = -j;

xС = 1/wC [Ом] ёмкостное (реактивное)сопротивление синусоидальному переменному току;

 = Um еjju  =  =  еjji = Im еjji – комплекс амплитудного значения тока на ёмкости;

 =  =  – комплекс действующего значения тока через ёмкость.

Интерес представляет выражения для комплексных амплитуд и действующих напряжений на ёмкости:

 = −j xС и  = − j xС .

Отметим, что закон Ома, несправедливый для мгновенных значений, выполняется для действующих значений и амплитуд: UС = xС I, UСm = xС Im.

Из полученных соотношений видно, что ток через ёмкость опережает напряжение по фазе на угол +90о: φi= φu + 90o.

Обозначения ёмкостного сопротивления на схеме замещения и соотношение между комплексами действующих значений тока и напряжения  на ёмкости приведено на рис 7б. Векторная диаграмма для полученных соотношений приведена на рис. 7.в.

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
391 Kb
Скачали:
0