Круговая диаграмма четырёхполюсника

l395

Круговая диаграмма четырёхполюсника

При решении определённого класса задач, связанных с анализом цепей синусоидального тока, необходимо знать, как ведёт себя напряжение или ток на участке цепи при изменении модуля какого-либо из сопротивлений, если остальные параметры цепи остаются постоянными. Наряду с аналитическим решением, такая задача имеет графическое решение. Сущность этого решения заключается в построении геометрических мест концов вектора напряжения или тока. Полученные кривые называют диаграммами. Если эти кривые есть дуги окружностей, то диаграмма называют круговыми [1].

Рис. 1

Представим разветвлённую цепь, содержащую источники, активным четырёхполюсником. К входным зажимам подключена ветвь с определяемым током , а к выходным зажимам подключена ветвь с изменяемым  сопротивления Z₂. Получим соотношение описывающие поведение вектора тока  при изменении модуля сопротивления |Z₂|.

Используем свойство линейных цепей: между двумя токами цепи существует линейное соотношение вида

 = A + B ,                                                                                                       (1)

где A и B комплексные постоянные. Пусть Z₂ = Z₂ e^jφ2. Z₂ изменяется в приделах от 0 до ∞.

Рассмотрим два режима работы четырёхполюсника.

1. Режим холостого хода со стороны выходных зажимов:

 = 0, Z₂ = ∞. и  = A.                                                                                                      (2)

2. Режим короткого замыкания со стороны выходных зажимов:, Z₂ = 0,

 = A + B  = + B

Определим B = ( – )/.                                                                                                       (3)

Подставим (3) и (2) в (1) получим:

 =  +  ,                                                                                                      (4)

Запишем ток  методом эквивалентного генератора

 =  =  = ,                                                                                                      (5)

где Z_2K            входное сопротивление цепи, рассчитываемое относительно зажимов переменного сопротивления, и ψ = φ₂ - φ_2K                        разница углов переменного и входного сопротивлений; - напряжение холостого хода на выходных зажимах при Z₂ = ∞.

Подставим (5) в (4) получим:

,                                                                                               (6)

Комплексное выражение (6) геометрически представляет дугу окружности [1], по которой скользит конец вектора тока , при изменении модуля сопротивления Z₂.

Порядок построения  круговой диаграммы

Порядок построения круговой диаграммы рассмотрим на примерах.

Пример 1.

Для цепи (рис. 2) требуется построить круговую диаграмму для тока  при изменении модуля сопротивления X_c. По круговой диаграмме определить величину тока  при  X_c = 35 Ом.

			В; XL= 50 Ом; R = 50 Ом;

 

Рис.2

1. Выражение для тока представляется в виде дуги окружности в комплексной форме записи:

.                                                                                                      (2)

2. Определяем - ток холостого хода.

			= ==0.141Ð0º A.

 

Рис.2

3. Определяем - ток короткого замыкания .

	= = = 0.2Ð45º A.

 

Рис.3

4. Определяем Z_2K              входное сопротивление цепи относительно зажимов переменной ёмкости X_C.

			Z2X= = = 35Ð45º A. φ2K  = 45º аргумент входного сопротивления

 

Рис.4

5. Определяем угол, под которым направляется линия переменного параметра: -ψ = - (φ_с - φ_2K ) = - (–90^o - 45º ) = 135º, где угол ёмкостного сопротивления φ_c = –90^o

После определения перечисленных параметров, входящих в выражение (2), построение круговой диаграммы выполняется в такой последовательности (рис.5).

6. Задаём масштабы: тока m_i = 0.05 A/см;

напряжения: m_u = 1 B/см;

сопротивления: m_z = 10 Ом/см;

 

Рис.5

6. На комплексной плоскости в масштабе m_i из начала координат откладываются векторы  (отрезок ox ) и  (отрезок ok). Разность векторов – является хордой xk искомой окружности.

7. На самой хорде или на ее продолжении в выбранном масштабе m_z откладывается отрезок   xz   , соответствующий модулю сопротивления Z_2K.

8. Из точки z под углом -ψ = 135º к вектору xz  проводится линия переменного параметра   zn    (л.п.п.).

9. Строятся два перпендикуляра:

Ÿ  восстанавливается перпендикуляр к середине хорды  xk (точка m);

Ÿ  опускается перпендикуляр из начала хорды (точка x) на линию переменного параметра или на ее продолжение;

Ÿ  центр окружности лежит в точке пересечения этих двух перпендикуляров (точка c).

Ÿ  рабочая часть окружности располагается со стороны линии переменного параметра (л. п. п.).

10. В масштабе m_z на линии переменного параметра отложить модуль переменного сопротивления X_C (отрезок zf).

11. Из начала хорды  (точка x) через точку f провести прямую до пересечения с дугой окружности (точка i). Точка пересечения этой прямой с дугой окружности является  концом вектора  (точка i).

12. Из (2) видно, что ток  определяется суммой векторов:

 =  + ,

где  =  - переменный вектор, определяется отрезком xi.

При изменении   X_C  каждый раз к неизменному вектору   добавляется  переменный вектор , величина и направление которого зависит от X_C. Правильно построенная круговая диаграмма позволяет получить целый ряд зависимостей в схеме: напряжений, токов, мощностей от изменения модуля переменного сопротивления X_C  [1].