Примеры расчёта переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля

L. 532. «Электротехника»                                                                                   Аксютин В.А.

Примеры расчёта переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля

Пример 1

На вход цепи, рис. 1а, подаётся напряжение: u_ВХ (t). Заданы R= 1 кОм, L = 0.05 Гн и график входного напряжения u_ВХ(t), рис.1б , где  U₀ = 10 В, t₀ = 20 мс,

 

а                                                                                                         б

Рис. 1

Найти: закон изменения выходного напряжения u_ВЫХ(t).

Решение

1.  Для напряжения u_ВЫХ(t) классическим или операторным методом рассчитывается переходная функция цепи k(t), как включение цепи на источник постоянной ЭДС 1 В.

			Классический метод рис. 2 uВЫХ(t) = k(t) = kПР+ kСВ(t)|E=1 B kПР=0 при  t=∞; kСВ(t) = Aept           pL+R=0;         p =–R/L: iL(0–) = iL(0+)=0;    E= iL(0+)R+ uL(0+); uL(0+) = E=1 B. kСВ(0+) = uL(0+) = A = 1 B. k(t) =1ept = e–tR/L

 

Рис. 2

2.  Для трёх участков характеристики входного напряжения u_ВХ(t) источника (рис. 1б), имеющего аналитическое описание и представленного кусочно-гладкой функцией после коммутации, составим интеграл Дюамеля.

u₁(t) = a₁ t + b₁,          u₁(t) =  t + U₀,           u₁(t) = –1000 t + 10,

u_ВХ(t) =         u₂(t) = a₂ t + b₂,  =      u₂(t) =  t – 3 U₀,   =      u₂(t) = 1000 t – 30,

u₃(t) = 0,                    u₃(t) = 0,                              u₃(t) = 0,

a₁ =  = –1000 В/с.      a₂ = –1000 В/с.

·  В промежутке  0<t<t₀ можно воспользоваться уже имеющейся формулой (1):

u_ВЫХ1(t)= u₁(0) k(t) + .

·  В промежутке t₀<t<2t₀ следует учесть скачок напряжения  e₂(t₁) – e₁(t₁), а также то, что напряжение изменяется по закону  e₂(t):

u_ВЫХ2(t)= u₁(0) k(t) +  + [u₂(t₀) – u₁(t₀)] k(t–t₀) + +,

где  k(t–t₁)  учитывает запаздывание скачка [u₂(t₀) – u₁(t₀)] на время  t₀ по сравнению с началом отсчёта времени.

·  Для промежутка времени 2t₀<t< учитываем скачок - u₂(2t₀), а также то, что u₂(t) действует лишь до 2t₀:

u_ВЫХ3(t) = u₁(0) k(t) +  + [u₂(t₀) – u₁(t₀)] k(t–t₀) +

++ [0–u₂(2t₀)] k(t–2t₀) + .

3.  Определяем составляющие, которые входят в интеграл Дюамеля.

 =  =

 =

 = 0

k(t) =

k(t–τ) =  

k(t–2t₀) =

k(t–t₀) =

4.  Определяем интегралы Дюамеля и записываем для каждого участка характеристики источника напряжения решения для напряжения u_ВЫХ(t).

В промежутке  0<t<t₀:

u_ВЫХ1(t)= U₀ + dτ = .

В промежутке t₀<t<2t₀:

u_ВЫХ2(t)= U₀  + dτ + 0 +dτ = ,

Для промежутка времени 2t₀<t<:

u_ВЫХ3(t) = U₀ + dτ + 0 +dτ –

–U₀ k(t–2t₀) =  + 0.

Пример 2

На вход цепи, рис. 3а, подключён источник ЭДС e(t). Заданы R₁= 1 кОм, R₁= 1 кОм, R₂= 2 кОм, C = 0.5 мкФ и график источника ЭДС e(t), рис.3б , где  E₀ = 100 В, t₁ = 10 мс, t₂ = 30 мс.

 

а                                                                                                         б

Рис. 3

Найти: закон изменения выходного напряжения i₂(t)

Решение

1. Для тока i₂(t) операторным методом рассчитываем переходную проводимость цепи g(t), как включение цепи на источник постоянной ЭДС 1 В.

 

а                                                                 б

Рис. 4

·  Операторная схема замещения приведена на рис. 4б.

Определим параметры схемы (см. табл. 2, раздел l 521)

e(t)=1 ® Е(p) =  ;          U_C(0) = 0 ® Е_C(p) =  = 0

·  По эквивалентной операторной схеме находится изображение напряжения. тока I₂(p) по закону Ома:

I₂(p) =  =

·  По теореме разложения определяем оригинал напряжения u_С(t).

I₂(p) = =

Корни F₂(p) =0,     p₁= 0 c⁻¹  и   p₂ = − 3000 c⁻¹.

F¢₂(p) =( p² + p3000)= 2 p +3000.

i₂(t) = g(t) =  +  =

=  +  = 0.333 10^-3 + 0.1667 10^-3 A.

g(t) = 0.333 + 0.1667 мA.

2. Для трёх участков характеристики входного напряжения u_ВХ(t) источника (рис. 1б), имеющего аналитическое описание и представленного кусочно-гладкой функцией после коммутации, составим интеграл Дюамеля.

u₁(t) = U₀,                          u₁(t) = 100,

u_ВХ(t) =         u₂(t) = a t + b,         =        u₂(t) = – 5000 t + 150,

u₃(t) = 0,                            u₃(t) = 0,

a =                           в =

u₁(t) = a₁ t + b₁,                  u₁(t) =  t + U₀,

u_ВЫХ(t)=         u₂(t) = a₂ t + b₂,      =        u₂(t) =  t – 3 U₀,

u₃(t) = 0,                            u₃(t) = 0,

·  В промежутке  0<t<t₀ можно воспользоваться уже имеющейся формулой (1):

u_ВЫХ(t)= u₁(0) k(t) + .

·  В промежутке t₀<t<2t₀ следует учесть скачок напряжения  e₂(t₁) – e₁(t₁), а также то, что напряжение изменяется по закону  e₂(t):

u_ВЫХ(t)= u₁(0) k(t) +  + [u₂(t₀) – u₁(t₀)] k(t–t₀) + +,

где  k(t–t₁)  учитывает запаздывание скачка [u₂(t₀) – u₁(t₀)] на время  t₀ по сравнению с началом отсчёта времени.

·  Для промежутка времени 2t₀<t< учитываем скачок - u₂(2t₀), а также то, что u₂(t) действует лишь до 2t₀:

u_ВЫХ(t) = u₁(0) k(t) +  + [u₂(t₀) – u₁(t₀)] k(t–t₀) +

++ [0–u₂(2t₀)] k(t–2t₀) + .

3. Определяем составляющие, которые входят в интеграл Дюамеля.

 =  =

 =

 = 0

k(t) =

k(t–τ) =  

k(t–2t₀) =

k(t–t₀) =

5.  Определяем интегралы Дюамеля и записываем для каждого участка характеристики источника напряжения решения для напряжения u_ВЫХ(t).

В промежутке  0<t<t₀:

u_ВЫХ(t)= U₀ + dτ = .

В промежутке t₀<t<2t₀:

u_ВЫХ(t)= U₀  + dτ + 0 +dτ = ,

Для промежутка времени 2t₀<t<:

u_ВЫХ(t) = U₀ + dτ + 0 +dτ –

–U₀ k(t–2t₀) =  + 0.