2. Определим достаточное количество уравнений для расчета цепи по законам Кирхгофа.
По первому закону Кирхгофа для зарядов:
.
По второму закону Кирхгофа для напряжений:
.
Положительное направление обхода контуров определим в соответствии с заданными на рис. 9.3.
3. Система уравнений по законам Кирхгофа с учетом, что т.к. токи по контурам не протекают
Полагая, что представим систему в виде:
4. Решение системы получим в матричной форме:
.
5. После подстановки числовых значений получим
.
6. Решение матричной системы позволяет определить заряды конденсаторов
, , .
Отрицательный знак заряда указывает на противоположную указанной на рис. 9.3 полярность заряда .
7. Напряжения на конденсаторах
,
,
.
8. Проверка решения, в соответствии с которой алгебраическая сумма зарядов на обкладках конденсаторов, присоединенных к узлу (рис. 9.3), должна быть равна нулю:
.
Задача 9.3.
Определить напряжение каждого конденсатора и энергию электрического поля всей цепи (рис. 9.4). Дано , , , , , , , , .
Рис. 9.4. Рис. 9.5.
Решение.
1. Расчет электрической цепи (рис. 9.4) целесообразно выполнить методом узловых потенциалов.
Цепь (рис. 9.4) содержит шесть ветвей, каждая из которых включает в себя емкостной элемент (), четыре узла ().
Зададим произвольно положительное направление напряжений на конденсаторах (рис. 9.5).
2. Достаточное количество уравнений для расчета цепи по методу узловых потенциалов равно трем:
.
Обозначение узлов в схеме выполним в соответствии с рис. 9.5. Потенциал узла 1 примем равным нулю ().
3. Расчетные уравнения для определения потенциалов , и (узлы 2, 3 и 4) на основании формальной аналогии между электрическими и электростатическими цепями, будут иметь вид:
4. Для расчета приведем систему к матричной форме
.
5. После подстановки в систему числовых значений и решения матричной системы найдем
, , .
6. С учетом заданных положительных направлений напряжений на конденсаторах (рис. 9.5) получим
,
,
,
,
,
.
7. Энергия электрического поля всей цепи будет составлять сумму энергий электрического поля каждого конденсатора
.
8. Проверим правильность решения. По второму закону Кирхгофа для внешнего контура цепи (рис. 9.5) запишем:
.
После подстановки числовых значений получим:
,
.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 9.4. Для схемы (рис. 9.6) определить общую емкость конденсаторов, заряд и напряжение каждого конденсатора, если , , , , , .
О т в е т: , , ,
, , ,
, , .
Задача 9.5. Для схемы (рис. 9.7) определить общую емкость цепи относительно входных зажимов источника ЭДС и энергию, запасаемую в электрическом поле всей цепи. Дано: , , , , , , .
О т в е т: , .
Рис. 9.6. Рис. 9.7.
Задача 9.6. Для схемы (рис. 9.8) требуется определить заряд, напряжение каждого конденсатора и энергию электрического поля всей цепи, если , , , , , .
О т в е т: , , , , , , ,
, .
Задача 9.7. Конденсаторы соединены по схеме, как на рис. 9.9. Определить напряжение, приложенное к каждому конденсатору, если , , , , , , .
О т в е т: , , , , .
Рис. 9.8. Рис. 9.9.
Задача 9.8. Определить заряды на конденсаторах включенных по схеме рис. 9.10, если , , , , , , .
О т в е т: , , , .
Задача 9.9. Найти заряд конденсатора включенного по схеме рис. 9.11. Дано: , , , , , .
О т в е т: .
Рис. 9.10. Рис. 9.11.
10. ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ПРОГРАММНОЙ СРЕДЫ MATHCADДЛЯ
РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО
ТОКА
При расчете электрических цепей возникает задача решения систем алгебраических уравнений. C целью автоматизации и ускорения процесса расчета рассмотрим основные приемы решений систем линейных алгебраических уравнений, описывающих состояние цепей, с помощью математической программной среды MatCAD.
Покажем основные возможности этой среды для решения практических задач.
Задача 10.1.
Определить токи в ветвях цепи (рис. 10.1) методом непосредственного применения законов Кирхгофа, если , , , , , , , .
Рис. 10.1.
Решение.
1. Система уравнений, составленная по законам Кирхгофа для расчета цепи (рис. 10.1) имеет вид:
2. Приведем систему к матричной форме записи:
.
3. После подстановки числовых значений получим
.
4.Решение матричной системы позволяет определить токи ветвей:
, , , .
5. Решение системы линейных алгебраических уравнений в MathCAD различными способами:
Способ 1. С помощью определителей по формулам Крамера.
Пример вычислительного блока реализованного в среде MathCAD:
Способ 2. С помощью векторных и матричных операторов при решении задач линейной алгебры.
Пример вычислительного блока реализованного в среде MathCAD:
Способ 3. Решение матричной системы с применением функции .
Пример вычислительного блока реализованного в среде MathCAD:
Решение матричной системы с применением функции в ином формате:
Способ 4. Решение системы уравнений при помощи вычислительного блока «».
Пример вычислительного блока реализованного в среде MathCAD:
П р и м е ч а н и е: В качестве знака равенства в системе линейных уравнений следует использовать знак логического равенства панели .
Задача 10.2.
Определить токи в ветвях схемы (рис. 10.2) методом узловых потенциалов. Дано , , , , , , , .
Рис. 10.2.
Решение.
1. Примем потенциал узловой точки 1, равным нулю (). Система расчетных уравнений для определения потенциалов , и будет иметь вид:
2. Приведем систему к матричной форме записи
.
3. Решение матричной системы получим в MathCAD при помощи векторных и матричных операторов.
Пример вычислительного блока реализованного в среде MathCAD:
В результате решения получены токи: , , , , .
Задача 10.3.
Пользуясь методом контурных токов рассчитать все токи в ветвях схемы (рис. 10.3), если , , , , , , , , , , , , .
Рис. 10.3.
Решение.
1. Система уравнений, составленная по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов имеет вид:
где .
2. Действительные токи в ветвях цепи определяться как алгебраическая сумма контурных токов смежных контуров:
, , ,
, .
3. Решение системы линейных уравнений и расчет действительных токов в ветвях схемы получим в MathCAD при помощи вычислительного блока «»
Пример вычислительного блока реализованного в среде MathCAD:
В результате решения в MathCAD с помощью вычислительного блока «» получены следующие значения токов:
, , ,
, , .
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.