Математика \ Высшая математика

Дослідження функції на монотонність та екстремум. Елементи лінійної та векторної алгебри (Теоретичний матеріал та контрольні завдання зі зразками вирішення з вищої математики), страница 5

Зауваження. Розглянуті властивості дають можливість перетворити векторну суму за тими самими правилами, що й звичайну алгебраїчну суму, а саме: зводити подібні члени, розкривати дужки тощо.

Означення 6. Вектор називається лінійною комбінацією векторів , якщо існують одночасно ненульові , такі, що

Два колінеарних вектори завжди знаходяться в лінійній залежності, а векторна рівність (1) є умовою колінеарності.

Означення 7. Вектори називаються компланарними, якщо вони знаходяться в одній площині або в паралельних площинах. При компланарних вектори завжди знаходяться в лінійній залежності, а векторна рівність (2) є умовою компланарності.

Чотири й більше вектори завжди лінійно залежні і розкладання

(3)

можна здійснити лише єдиним способом.

Означення 8. Сукупність лінійно незалежних векторів, за якою можна розкласти довільний вектор, називається базисом. Звідси випливає, що на площині базисом можуть бути довільні два не колінеарні вектори, а в просторі - довільні три некомпланарних вектори.

Співвідношення (2) називають розкладом вектора за базисом і , аналогічно в співвідношення (3) називається розкладом будь-якого вектора за базисом .

При цьому скаляри називають координатами, а вектори - компонентами, або складовими вектора за базисом .

3.6 Проекція вектора на вісь.

Декартів прямокутний координатний базис

Означення 1. Координатною прямою (віссю) називається пряма, на якої вибрано напрям, фіксована точка О – початок координат, а також масштаб – відрізок, довжина якого приймається за одиницю. Причому з правого боку від точки О точкам прямої ставляться у відповідність додатні числа, а з іншого боку – точкам прямої відповідають від’ємні числа.

Теорема. Кожному дійсному числу х із нескінченної множини R можна поставити у відповідність точку на координатній прямій і така відповідність є взаємно однозначною.

Означення 2. Проекцією вектора на вісь називають число, а саме:

якщо має напрям

якщо має напрям, супротивний напряму

Рисунок 10

Існує теорема. Проекція вектора на вісь дорівнює додатку модуля вектора на косинус кута між вектором і віссю, тобто

(1)

де - кут між і віссю (мал. 10), оскільки - паралелограм.

Тобто, якщо - гострий, число додатне

якщо - тупий, число від’ємне.

Очевидно, що коли , то і навпаки.

Властивості проекції вектора на вісь.

1. Скалярний множник можна виносити за знак проекції, тобто

(2)

2. Проекція суми векторів на вісь дорівнює сумі проекції складових векторів на ту саму вісь, тобто

(3)

Властивість 2 узагальнюється на випадок довільного скінченного числа векторів.

Означення 3. Три взаємно перпендикулярні координатні прямі, які мають спільний початок координат і єдиний масштаб утворюють декартову систему координат у просторі. Напрям осей можна задати одиничними векторами , тобто ,

Означення 4. Трійка ортів називається також координатним декартовим базисом.

Таким чином, для кожної точки Р простору можна поставити у відповідність впорядковану трійку чисел , які є координатами точки або координатами радіус-вектора (4).

Як видно, координати точки Р і радіуса-вектора точки Р збігаються.

Аналогічно формулі (1) довільний вектор в декартовій системі координат можна записати у вигляді:

(5)

де - проекції вектора на осі координат називаються його координатами .

Якщо вектор утворює з осями координат кути , тоді згідно з (1) маємо

(6)

Звідки (7) - напрямні косинуси вектора , для яких справджується рівність

(8)

Координати вектора виражаються через координати його початку та кінця за формулами

(9)

Таким чином, довжина вектора , тобто відстань між точками А і В, знаходиться за формулами

(10)

або

(11)

Оскільки умова колінеарності векторів рівносильна умові , тобто , то звідти маємо

(12)

Остання рівність виражає умову колінеарності векторів в координатній формі.

3.7 Скалярний добуток векторів та

його властивості

Означення. Скалярним добутком векторів і називається число (скаляр), яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними, тобто

(1)

Механічний зміст скалярного добутку полягає в обчисленні роботи А під дією постійної сили при переміщені матеріальної точки вздовж прямолінійного відрізка тобто

(2)

Властивості скалярного добутку по означенню.

1).

2). (комутативна або симетрична)

3). (позитивна),

4). (білінійна або дистрибутивна)

5) тобто умова перпендикулярності векторів, наслідком якої є
6) якщо є орт вектора , то , або

7) (асоціативна).

Нехай задано два вектори в декартовій системі координат ОХУZ: і . Тоді за властивостями скалярного добутку отримаємо (3)

Тобто скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків однойменних координат цих векторів. Таким чином, можна записати в координатній формі всі одержані нами формули.

Наприклад, (4)