Дослідження функції на монотонність та екстремум. Елементи лінійної та векторної алгебри (Теоретичний матеріал та контрольні завдання зі зразками вирішення з вищої математики), страница 4

Маємо головний визначник системи:

Знайдемо побічні визначники:

Отже,

3.3 Метод Гауса послідовного

виключення невідомих

В основу методу Гауса покладені елементарні перетворення систем. Цей метод послідовних вилучень невідомих розглянемо на прикладі СЛА Р-3.

(1)

Будемо вважати, що визначник системи і (в противному разі можна переставити місцями рівняння системи). Один із алгоритмів методу Гауса полягає в покроковому виконанні таких перетворень.

1 крок. Вилучаємо х₁ з другого, третього рівнянь системи (1). Для цього поділимо перше рівняння на а₁₁. Отримане рівняння помножимо на а₂₁ і віднімемо від другого, потім його ж помножимо на а₃₁ і віднімемо від третього. Дістанемо перетворену систему.

(2)

де

2 крок. У системі (2) вилучаємо х₂ з третього рівняння системи. При цьому перше рівняння залишаємо без зміни і друге поділимо на . Отримане рівняння помножимо на b₃₂ і віднімемо від третього.

Після цього матимемо систему

(3)

де

Зведення системи (1) до трикутного вигляду (3) називають прямим ходом методу Гауса. Обернений хід методу Гауса полягає в обчисленнях невідомих за формулами (4).

(4)

Отримані результати можна узагальнити у вигляді теореми:

Теорема. Якщо в процесі перетворень Гауса з’явиться рівняння виду , то вихідна система несумісна. Якщо вона зводиться до трикутного вигляду, то ця система визначена, а якщо – до трапецоїдного, то система невизначена. Або має безліч розв’язків.

Приклад. Розв’язати систему методом Гауса.

(1)

Розв’язання.

Запишемо систему у вигляді.

(2)

Таким чином, перший крок для системи (2) виконувати не треба.

2 крок. У системі (2) вилучаємо невідому х₂ з третього рівняння системи. При цьому перше і друге рівняння залишаємо без змін. Отримане друге рівняння помножимо на 3 і віднімемо від третього. Дістанемо перетворену систему:

(3)

звідки за допомогою оберненого ходу методу Гауса маємо

Оскільки система (1) звелася до трикутного вигляду (3), вона визначена, тобто має єдиний розв’язок:

Зауваження. Якщо формули Крамера застосовують, як правило, для , то метод Гауса для . Він може бути використаний при розв’язанні системи т рівнянь з n невідомими і не потребує попереднього розгляду питання про сумісність системи.

3.4 Вектори, основні поняття та означення

Усі фізичні величини поділяються на скалярні (температура, маса, робота), які зображаються одним числом, векторні (сила, швидкість, прискорення тощо), які зображаються матрицею-стовпцем з певною кількістю елементів, тензорні (деформація, напруження тощо), які зображаються квадратною матрицею.

Якщо вектор можна переносити паралельно самому собі, то його називають вільним, або геометричним. Якщо вектор жорстко зв’язаний з точкою прикладання, то він називається зв’язаним. Прикладом такого вектора є вектор сили, радіус – вектор точки.

Означення 1. Вектором називається впорядкована пара точок ,перша з яких називається початком вектора. Друга – його кінцем, тобто є спрямований відрізок і позначається або , або .

Означення 2. Відстань між M i N називається довжиною або модулем вектора і називається , або .

Означення 3. Два вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній прямій або на двох паралельних прямих.

Означення 4. Два вектори називаються рівними, якщо вони колінеарні, мають однакову довжину і однаково направлені.

Означення 5. Вектор, модуль якого дорівнює одиниці, називається одиничним, або ортом ,

Вектор, у якого початок і кінець збігаються, називається нульовим, його модуль дорівнює нулю.

Означення 6. Вектор називається вільним, якщо

1) він повністю визначається модулями і напрямом

2) його можна переносити паралельно самому собі, беручи за початок вектора довільну точку простору.

3.5 Лінійні операції з векторами. Базис

Означення 1. Лінійними називаються додавання двох векторів, віднімання та множення вектора на скаляр (число), тобто

1) , 2)

Означення 2. Сумою двох неколінеарних векторів називають вектор, який виходить з їх спільного початку і є діагоналлю паралелограма, побудованого на даних векторах, як на сторонах.

З цього правила паралелограма випливає правило трикутника.