Дослідження функції на монотонність та екстремум. Елементи лінійної та векторної алгебри (Теоретичний матеріал та контрольні завдання зі зразками вирішення з вищої математики), страница 2

(щодо знаків у таблиці див. приклади в п. 2.7, 2.8)

Побудуємо графік функції згідно зі здобутими даними в      п. 2.6 щодо асимптоти графіка функції та поведінки її при  (див. рис. 7).

 

2.10 Запитання для самоперевірки

1.  Дайте означення похідної функції .

2.  Сформулюйте геометричний і механічний зміст похідної.

3.  Запишіть рівняння дотичної та нормалі до кривої  в точці .

4.  Як знайти похідну складної функції , неявно та параметрично поданої, оберненої?

5.  Як записати приріст диференційовної функції?

6.  Дайте означення диференціала функції.

7.  Запишіть формулу для наближених обчислень за допомогою диференціала.

8.  Дайте означення похідної вищого порядку. Запишіть формули для похідних n деяких основних елементарних функцій.

9.  Сформулюйте правило Лопіталя. Як застосувати правило Лопіталя для невизначеностей .

10.  Як знаходяться вертикальні, горизонтальні та похилі асимптоти? Наведіть приклади.

11.  Дайте означення точки екстремуму функції. Сформулюйте необхідну та достатню ознаки екстремуму функції.

12.  Як знайти найменше та найбільше значення функції на відрізку.

13.  Дайте означення опуклості, вгнутості, точок перетину кривої .

14.  Сформулюйте необхідну та достатню ознаку точок перетину. Як знайти критичні точки та дослідити їх?

2.11 Завдання для самостійної роботи

Зміст роботи

1.  Знайти похідні поданих функцій а)        б)     в)  г)  де

2.  Знайти похідні  та  функцій а)                     б)             в)

3.  Обчислити наближено за допомогою формул:

  значення функції .

4.  Обчислити за допомогою правила Лопіталя границі 5а) 5б) 5в) (гл. 1, 1.8).

5.  Знайти асимптоти графіка функції 2а) .

6.  Знайти інтервали монотонності і екстремуми функції. А також інтервали опуклості та випуклості цілої раціональної функції

7.  Визначити найменше та найбільше значення функції  на поданому відрізку

8.  Дослідити поведінку поданої функції 2а)  в цілому та побудувати графік цієї функції.

Варіант 1.

1. а)                 б)                 в)

    г)

2. а)        б)            в)

3.  х = 1,58            4.      5.

6.        7.         8.

Варіант 2.

1. а)          б)         в)             г)

2. а)                     б)               в)

3.  х = 1,012           4.            5.    

6.       7.        8.

Варіант 3.

1. а)            б)       в)          

    г)

2. а)                        б)                      в)

3.            4.                 5.   

6.    7.          8. 

Варіант 4.

1. а)          б)     в)   

    г)

2. а)                      б)                      в)

3.             4.               5.    

6.      7.         8. 

Варіант 5.

1. а)           б)         в)  

    г)

2. а)          б)               в)

3.                 4.                 5.

6.     7.      8.

Варіант 6.

1. а)            б)          в)

    г)

2. а)                      б)         в)

3.             4.            5.

6.     7.          8.

Варіант 7.

1. а)            б)           в)       

    г)

2. а)               б)                 в)

3.            4.                        5.         

6.    7.       8.

Варіант 8.

1. а)           б)        в)  

    г)

2. а)                   б)                  в)

3.        4.         5.

6.      7.             8.

Варіант 9.

1. а)         б)       в)  

    г)

2. а)                  б)                в)

3.                     4.                 5.  

6.       7.             8.

Варіант 10.

1.  а)       б)          в)   

     г)

2.  а)                      б)                  в)

3.         4.            5.

6.      7.          8.

Варіант 11.

1.  а)         б)            в)   

     г)

2.  а)              б)                  в)

3.          4.           5.

6.           7.      

8.

Варіант 12.

1.  а)               б)                   в)        

г)

2.  а)                   б)                 в)

3.                4.              5. 

6.  7.  

8.

Варіант 13.

1.  а)           б)            в)      

г)

2.  а)          б)               в)

3.                 4.              5.

6.                  7.      8.

Варіант 14.

1.  а)               б)                 в)    

     г)  

2.  а)                б)                в)

3.         4.            5.

6.      7.       

8.

Варіант 15.

1.  а)        б)               в)   

     г)

2.  а)              б)             в)

3.           4.               5.

6.     7.             8.

Варіант 16.

1.  а)                 б)              в)   

     г)

2.  а)                б)        в)

3.  а)   4.    5.

6.   7.       8.

Варіант 17.

1.  а)             б)        в)   

    г)

2.  а)                  б)         в)

3.       4.        5.

6.   7.      8.

Варіант 18.

1.  а)              б)              в)  

     г)

2.  а)                б)                 в)

3.         4.       5.

6.           7.              8.

Варіант 19.

1. а)          б)         в)    

    г)

2. а)                         б)           в)

3.               4.                 5.

6.       7.           8.

Варіант 20.