Геометрия - основа для начертательной геометрии и инженерной графики

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ  ГЕОМЕТРИЯ И ИНЖЕНЕРнАЯ ГРАФИКА

Основой  начертательной геометрии и инженерной графики  является наука геометрия.

            Геометрия  изучает   геометрические  свойства  геометрических примитивов, функциональные при геометрических преобразованиях.

            Геометрические примитивы:

1.  Точка

2.  Отрезок прямой линии (прямая)

3.  Отсек плоскости (плоскость)

4.  Тело (простые геометрические тела)

Геометрические преобразования:

1.  Перенос (параллельный)

2.  Поворот

3.  Масштабирование

4.  Проецирование

Свойства геометрических примитивов:

Точка – координаты  х,y,z

Прямая – длина, углы наклона – α,β,γ

Плоскость – площадь, длина периметра, координаты центра тяжести, углы наклона плоскости к плоскостям проекций  -  α,β,γ  и пр.

Тело – объём, площадь поверхности, координаты центра тяжести и др.

Это собственные (абсолютные свойства), есть еще вторая группа свойств – свойства положения (относительные) -параллельность, перпендикулярность и пр.

Основной научный метод – метод моделей.

Метод моделей

Типовые     задачи      геометрии

ТЗ-8 – точка + плоскость

Типовая задача № 1 («задача штирлица»)

                                                         Рис.1.                                                       Рис.2.

              Точность построения на рис.1. максимальна, поэтому применяют прямоугольную

(ортогональную) систему координат. Поскольку ПОВОРОТ  является инвариантным преобразованием, разворачивание всех трех  плоскостей в одну плоскость образует  т.н.  комплексный  чертеж.

Точность пеленгации места выхода в эфир передатчика разведчика выше на рис.1. (отсюда – «задача Штирлица»).

Первое правило Берикова – если в задаче участвуют примитивы «соседних» размерностей, размерность одного из них понижается (повышается) до размерности второго (как правило, с помощью двукратной (однократной) замены плоскости проекции)

Второе правило Берикова – если в задаче участвуют примитивы «не соседних» размерностей, задача решается с помощью примитива-посредника промежуточной размерности.

Типовая задача № 2 (точка в системе плоскостей проекций)

Типовая задача № 3  «Прямая  в системе   плоскостей проекций»

Прямые разделяются на  три типа – два типа прямых частного положения (проецирующие и прямые уровня) и прямые частного положения.

Прямые, перпендикулярные какой-либо плоскости проекции, называются проецирующими. Например – горизонтально-проецирующая прямая – это прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекции.

                                                                                     А₁                                                                  

                                                                                     В₁

 

                                                                                     А₂=В₂

                                           Рис.4. Горизонтально-проецирующая прямая

              Поскольку  отрезок  прямой  перпендикулярен  одной  плоскости  проекций, он автоматически параллелен   двум  другим плоскостям  проекций и на них проецируется в натуральную величину. Углы наклона  в данном случае равны:

α = 0^o

 β = 90⁰

 γ = 0^o

Отрезок прямой линии параллельный  какой-либо плоскости проекции, называется прямой уровня  и имеет название такое же как  и плоскость, которой он параллелен. На ту плоскость, которой  отрезок параллелен, он проецируется в натуральную величину. Углы наклона  отрезка ко всем плоскостям проекций легко измеряются на чертеже (модели) без каких-либо преобразований.

                                                         Рис.4. Горизонтальная прямая

              Прямая, расположенная в пространстве под произвольными углами к плоскостям   проекций   называется   прямой   общего   положения и для измерения длины отрезка и углов его наклона  к плоскостям проекций  требуются  преобразования  чертежа (модели). Для определения натуральной величины отрезка прямой применяются несколько методов преобразования чертежа:

1.  Метод  вращения;

2.  Метод  прямоугольного  треугольника;

3.  Метод замены плоскости проекции.

Практически все эти методы являются  модификациями использования преобразования – «ВРАЩЕНИЕ». Так, например, вращение отрезка вокруг оси Z  не изменяет  длину отрезка L и угол наклона  его к горизонтальной плоскости проекции β. Поэтому, для  определения длины отрезка и угла наклона  β  используют вращение отрезка вокруг вертикальной оси. Углы наклона к другим плоскостям проекций определяют вращением отрезка прямой  вокруг осей, параллельных другим осям координат. При вращении отрезка вокруг  оси, параллельной оси Х  не меняется (инвариантен) угол γ - угол наклона к профильной плоскости проекции. При вращении отрезка вокруг  оси, параллельной оси Y не меняется угол наклона к фронтальной плоскости проекции α.   Пример решениятакой задачи приведен на рис.5.

                                                        Рис.5. Определение длины отрезка и угла наклона α

                                                                    методом вращения

                                                                       Рис.6. Определение параметров отрезка методом

                                                                                     «прямоугольного треугольника»

Рис.7. Определение L  и β методом замены плоскости проекции

СЛЕДЫ  ПРЯМОЙ ЛИНИИ. Следом   прямой  линии  называется точка пересечения прямой с плоскостью проекции.

Х₁₂

Рис.8. Построение горизонтального следа прямой линии.

Аналогично выглядят построения при определении фронтального следа

прямой линии.

Рис. 9. Построение фронтального следа прямой линии

(подписать след и его проекции самостоятельно).

Плоскости, как и отрезки прямых линий,  могут   занимать   как    частное

 ( проецирующие    и      уровня ), так и   общее    положение.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ  ПЛОСКОСТИ:

1.  Тремя точками;

2.  Плоской фигурой;

3.  Двумя параллельными прямыми;

4.  Двумя пересекающимися прямыми;

5.  Следами.

Первые четыре  способа легко перезадаются из одного способа в другой. Несколько особняком  стоит  вопрос   перезадания  следами.

              Следами плоскости называются линии пересечения плоскости с плоскостями проекций.   Чтобы построить след плоскости, нужно построить одноименные следы  двух пересекающихся или параллельных прямых, лежащих в этой плоскости  и соединить их прямой линией. При правильном построении следы плоскости пересекаются на  оси Х  в одной точке (!)

                                                                                                                  К₁

 

                                                                                                               К₂

 

 

                  Рис. 10. Плоскость  К, заданная следами. Точка А принадлежит плоскости

              В чертеже на рис.10. ясно видно, что горизонтальный след плоскости К₂  и горизонтальная проекция горизонтальной линии (горизонтали)   ПАРАЛЛЕЛЬНЫ !!! Аналогично – параллельны  фронтальный след плоскости К₁ и фронтальная проекция фронтали.

              В решении типовой задачи № 4 обычно преобразуют чертеж для:

·  Получения натуральной величины плоской фигуры;

·  Измерения углов наклона плоскости к плоскостям проекций α,β,γ;

В числе способов преобразования чертежа  используют:

·  Замену плоскости проекции;

·  Вращение  геометрического примитива.

Чертежи вариантов  решения типовой задачи № 4  выполнить самостоятельно.

Типовая задача № 5  «Тело в системе плоскостей проекций»

              Каждое элементарное тело  проецируется на комплексном чертеже в одной (нескольких) проекциях в зависимости от решаемой задачи, но как правило, в таких проекциях, которые позволяют проставить поэлементные размеры (размеры, задающие само элементарное  геометрическое тело).

Цилиндр

 

                                                        Рис.11. Изображение цилиндра