Теорема про три перпендикуляри: План-конспект уроку з геометрії

Полтавський державний педагогічний університет

ім. В. Г. Короленка

ПЛАН – КОНСПЕКТ УРОКУ

студентки  групи Ф-51

Дорошенко Олени

Полтава-2003

План-конспект уроку

Тема: Теорема про три перпендикуляри

Теорема про три перпендикуляри, яку вивчають у 10-му класі, одна з важ­ливих у курсі стереометрії. Вона зна­ходить широке застосування під час обчислення відстаней у просторі, зображення кутів між площинами та двогранних кутів.

Мета:

·  ознайомити учнів з теоремою про три перпендикуляри;

·  формувати вміння та навички використовувати теорему до розв'язування задач;

·  вчити користуватися опорними фактами під час доведення тверджень і розв'язуван­ня задач;

·  розвивати логічне мислення;

·  виховувати активність, культуру мов­лення і математичних записів.

Тип уроку: урок викладу нового матеріалу.

Обладнання: Моделі, таблиця, картки.

План уроку

1.  Організаційний момент. (2 хв.)

2.  Актуалізація опорних знань. (10 хв.)

3.  Вивчення нового матеріалу. (15 хв.)

4.  Розв'язування задач на закріплен­ня теореми. (10 хв.)

5.  Підсумок уроку. (5 хв.)

          6.   Домашнє завдання. ( 3 хв.)

ХІД УРОКУ

I.  Організаційний момент.

II. Актуалізація опорних знань.

1.  Фронтальне опитування класу:

а)  сформулюйте означення, ознаку прямої, перпендикулярної до площи­ни;

б)  сформулюйте властивість медіа­ни рівнобедреного трикутника, прове­деної до основи;

в)  назвіть залежність, яка існує між похилими, проведеними з однієї точ­ки, та їх проекціями.

2.  Розв'язування біля дошки трьома учнями задач, записаних на картках.

Картка 1

Точка віддалена від усіх вершин правильного трикутника на 5 дм. Медіана цього трикутника дорівнює 6 дм. Знайдіть відстань від даної точки до ллошини трикутника

Розв'язання

Нехай АВС — даний трикутник, точ­ка М така, що МО(АВС).

Тоді АМ  = ВМ = CM = 5 (дм). Точка О — центр кола, описаного навколо  AВC, є точ­кою перетину медіан, висот і бісектрис.

За властивістю точки перетину ме­діан маємо:

АО : ОК = 2 : 1, тому АО = 4 см.

Із АОМ (AOM = 90º) за теоре­мою Піфагора

МО =  ,

МО = 3 см.

Відповідь. 3 см.

Картка 2

Точка однаково віддалена від усіх вершин правильного трикутника, а відстань від неї до площини трикутни­ка дорівнює  см. Сторона трикут­ника дорівнює  см. Знайдіть відстань від даної точки до вершин трикутника.

Розв'язання

Нехай ABC — правильний трикут­ник зі стороною  см. Точка М така, що AM = ВM = CM.

Проведемо       МО(АВС).    Тоді MO = см, де О — центр описаного кола, АО = R — його радіус.

Як відомо,

 (см).

Із АОМ (AOM = 90º) за теоре­мою Піфагора

AM = ,

AM =  = (см).

Відповідь:  см.

Картка 3.

Точка віддалена від усіх вершин прямокутного трикутника на 1см, а від

площини цього трикутника — на  см. Знайдіть медіану, проведену до його гіпотенузи.

Розв'язання

Нехай ABC — прямокутний трикут­ник, у якого С = 90º. Точка М така, що АМ = СМ = ВМ = 1 см.

Проведемо MO(ABC). Тоді МО =  см, де точка О — центр опи­саного навколо  ABC кола, є середи­ною гіпотенузи і АО = ОС = OB = R, ОС — медіана АВС .

Із АОМ (AOM= 90°) за теоремою Піфагора

(см), тому

OC = см.

Відповідь. см.

3.  Повторення правил проектування.

4.  Розв'язування задач.

На заготовлених на дошці малюнках проведіть відрізок, що є відстанню від точки О до прямої АВ, якщо:

а)МОα;

б) МО(АВО), АО = ВО,

в) МО(АВС), CAB=90°;

г) MO (ABC), ABCD — квадрат;

ґ) MO (ABC), ABCD - ромб.

А

Учні розмірковують над тим, як на кожному з малюнків побудувати відрізок, що є відстанню від точки М до прямої АВ, вносять свої пропозиції.

III. Вивчення нового матеріалу.

1. Формулювання та колективне доведення першої частини теореми про три перпендикуляри.

Дано:

МОα, КО — проекція похилої KM на площину α, OKАВ.

Довести:

АВКМ.                                                                  М

Доведення

На прямій АВ виберемо точки Р і N такі, що KN = КР.

Тоді РО = NO — як похилі до пря­мої АВ, що мають рівні проекції РК = =KN.

РМ = NM — як похилі до площини α , проекції яких РО і NO також рівні.

Отже, PMN— рівнобедрений, КМ — його медіана. Тому МКАВ .

2.   Формулювання та самостійне доведення твердження, оберненого до доведеного.

3.   Демонстрація теореми на мо­делях.

IV. Розв'язування задач на закріплен­ня теореми.

1.   На кожному із малюнків а—ґ (див. п. ІІ, 4) побудуйте відрізок, що є відстанню від точки М до прямої АВ. Прокоментуйте побудову, зробіть відповідні записи.

2. Колективне розв'язування задачі.

Дано: АВС— рівнобедрений, МО(АВО), АВ = ВС = 17 см, МО=30см.

Знайти: відстань від точки М до сторони А В.

3.  Усне розв'язування задачі.

          Дано: АВС— прямокутний, С=90º, ВО = 6 см, В = 30°, МО = 4 см, О є ВС.

Знайти: відстань від точки Мдо сторони/IB.

4.  Самостійне розв'язування задачі.

          Відстань від точки М до сторони АВ квадрата ABCD дорівнює 5 см. Об­числіть відстань від точки М до пло­щини квадрата, якщо діагональ квад­рата дорівнює 8 см, а точка М про­ектується в центр кола, описаного нав­коло квадрата.

5.  Розв'язування задачі з коменту­ванням.

Дано: ABCD — ромб, О — точка перетину діагоналей, МО = 4 см, BD = =6см, АС = 8см.

Знайти: відстань від точки М до сторони ромба АВ.

6.  Усне розв'язування задач.

На кожному з малюнків назвіть відрізок, який є відстанню від точки М до прямої NK.

а) NBCKN1B1MK1 – куб;

б) ANCK – ромб, MC(NKC);

в) ABKN —  прямокутник, AM(ABK).

                                             М

V. Підсумок уроку.

VI. Домашнє завдання.

1.   Вивчити формулювання та до­ведення теореми про три перпендику­ляри.

2.  Розв'язати задачі № 48, 53 із § 17 підручника.

Пропоную добірку задач, які спри­яють свідомому засвоєнню даної теореми. Такі задачі можна розв'язувати усно за готовими малюнками, використовувати для індивідуального контро­лю або для самостійної роботи. Задачі можна розглядати як підготовчі до роз­в'язування складніших задач.

Добірка складається з чотирьох груп задач.

1.  Задачі на доведення перпендику­лярності прямих.

2.  Задачі на побудову перпендику­ляра до прямої.

3. Задачі на побудову відрізка, що є відстанню від точки до прямої.

4.  Задачі на обчислення відстані від точки до прямої.

Перша група задач І.

 1. Дано: DB(ABC), ВАC = 30º, АBC=60º.

 Довести:DCAC.

2. Дано: ABCD — квадрат, MB(ABC):

Визначте, які з трикутників прямо­кутні.

3.  Дано: МС(АВС), АС = ВС, AD = DB.

               Довести: ABDM.

4.  Дано: МА(АВС), BD = CD, MDCB.

              Довести: АВ = АС.